Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Logarit nhị phân”

Nội dung được xóa Nội dung được thêm vào

Nội tuyến

Phiên bản lúc 13:32, ngày 21 tháng 8 năm 2020

Trong toán học, logarit nhị phân ( $log 2 n$ ) là lũy thừa mà số $2$ cần phải được nâng lên để được số $n$ , nghĩa là với mọi số thực $x$ thì

x=\log _{2}n\quad \Longleftrightarrow \quad 2^{x}=n.

Ví dụ, logarit nhị phân của $1$ là $0$ , logarit nhị phân của $2$ là $1$ , logarit nhị phân của $4$ là $2$ và logarit nhị phân của $32$ là $5$ .

Logarit nhị phân là logarit cơ số 2. Hàm logarit nhị phân là hàm ngược của hàm lũy thừa của 2. Cùng với $log 2$ , logarit nhị phân còn được ký hiệu là $lg$ , $ld$ , $lb$ hoặc $log$ .

Trong lịch sử, ứng dụng đầu tiên của logarit nhị phân nằm trong lý thuyết âm nhạc do Leonhard Euler tìm ra: logarit nhị phân của tỷ lệ tần số giữa hai tông nhạc cho biết số quãng tám nằm giữa hai tông đó. Logarit nhị phân có thể được dùng để tính độ dài của một số khi được biểu diễn trong hệ nhị phân, hoặc số bit cần để mã hóa một thông điệp nào đó trong lý thuyết thông tin. Trong khoa học máy tính, nó đếm số bước cần để thực thi thuật toán tìm kiếm nhị phân và các thuật toán có liên quan khác. Logarit nhị phân cũng có nhiều ứng dụng trong một số lĩnh vực như toán học tổ hợp, tin sinh học, nhiếp ảnh và trong thiết kế các giải đấu thể thao.

Logarit nhị phân là một trong các hàm toán học cơ bản của ngôn ngữ C và có trong một số bộ chương trình phần mềm toán học khác. Phần nguyên của logarit nhị phân có thể được tìm qua phép toán tìm bit 1 đầu tiên trên một giá trị nguyên hoặc tìm số mũ của một giá trị dấu phẩy động, trong khi phần thập phân có thể tính được một cách hiệu quả.

Lịch sử

Lũy thừa của 2 đã được biết đến từ thời cổ xưa; chẳng hạn, chúng xuất hiện trong bộ Cơ sở của Euclid, mệnh đề IX.32 (về phân tích lũy thừa của 2) và IX.36 (một nửa định lý Euclid–Euler về sự xây dựng các số hoàn thiện chẵn), và logarit nhị phân chính là vị trí của chúng trong dãy lũy thừa của 2 được sắp xếp. Trên cơ sở đó, Michael Stifel được cho là đã xuất bản bảng logarit nhị phân đầu tiên vào năm 1544. Cuốn Arithmetica Integra của ông có một vài bảng số gồm các số nguyên và lũy thừa của 2 tương ứng. Khi đảo ngược các hàng trong các bảng số này thì chúng có thể được xem là bảng logarit nhị phân.^[1]^[2]

Trước Stifel, nhà toán học Kỳ Na thế kỷ 8 Virasena được cho là đã tìm ra tiền thân của logarit nhị phân. Khái niệm ardhachena của Virasena được xác định là số lần một số cho trước có thể chia hết cho 2. Định nghĩa này làm nảy sinh khái niệm về một hàm số trùng hợp với logarit nhị phân về mặt lũy thừa của 2,^[3] nhưng hàm này có điểm khác biệt khi cho biết cấp 2-adic của một số nguyên thay vì logarit.^[4]

Dạng hiện đại của logarit nhị phân, áp dụng cho bất kỳ số nào (không chỉ có lũy thừa của 2) do Leonhard Euler phát hiện vào năm 1739. Euler cũng là người đầu tiên tìm ra ứng dụng của logarit nhị phân trong lý thuyết âm nhạc, từ lâu trước khi người ta được biết ứng dụng của chúng trong lý thuyết thông tin và khoa học máy tính. Trong công trình của ông, Euler đã lập được bảng logarit nhị phân của các số nguyên từ 1 đến 8 chính xác đến 7 chữ số thập phân.^[5]^[6]

Định nghĩa và tính chất

Hàm logarit nhị phân được định nghĩa là hàm ngược của hàm lũy thừa của 2, vốn là một hàm số tăng trên tập hợp số thực dương và do đó có một hàm ngược duy nhất.^[7] Ngoài ra, nó cũng được xác định bằng $ln n /ln 2$ với $ln$ là logarit tự nhiên. Trong định nghĩa, khi thay logarit thực bằng logarit phức thì logarit nhị phân có thể được mở rộng cho số phức.^[8]

Giống như logarit thông thường, logarit nhị phân thỏa mãn các tính chất sau:^[9]

\log _{2}xy=\log _{2}x+\log _{2}y

\log _{2}{\frac {x}{y}}=\log _{2}x-\log _{2}y

\log _{2}x^{y}=y\log _{2}x.

Với các tính chất khác, xem danh sách đồng nhất thức logarit.

Ký hiệu

Trong toán học, logarit nhị phân của một số $n$ được ký hiệu là $log 2 n$ .^[a] Tuy nhiên, tùy theo lĩnh vực mà nó được sử dụng, còn tồn tại thêm một số ký hiệu khác.

Một số tác giả ký hiệu logarit nhị phân là $lg n$ ;^[10]^[11] đây là ký hiệu được liệt kê trong The Chicago Manual of Style.^[12] Theo Donald Knuth, ký hiệu này do Edward Reingold đề xuất,^[13] nhưng thực tế nó đã được dùng trong lý thuyết thông tin và khoa học máy tính từ trước khi Reingold bắt đầu sự nghiệp.^[14]^[15] Logarit tự nhiên cũng được viết là $log n$ cùng một câu trước đó giải thích rằng cơ số mặc định của logarit là $2$ .^[16]^[17]^[18] Một ký hiệu khác của chính hàm số đó (đặc biệt xuất hiện trong các bài viết khoa học của Đức) là $ld n$ , viết tắt của cụm từ logarithmus dualis hoặc logarithmus dyadis trong tiếng Latinh.^[19]^[20]^[21] Các tiêu chuẩn DIN 1302, ISO 31-11 và ISO 80000-2 còn khuyến nghị dùng một ký hiệu khác nữa, $lb n$ . Theo các tiêu chuẩn này, không nên dùng $lg n$ để ký hiệu logarit nhị phân vì nó được dùng riêng cho logarit thập phân $log 10 n$ .^[22]^[23]^[24]

Ghi chú

^ Đây là ký hiệu được dùng trong Bách khoa toàn thư Toán học và The Princeton Companion to Mathematics.

Chú thích

^ Groza, Vivian Shaw; Shelley, Susanne M. (1972), Precalculus mathematics, New York: Holt, Rinehart and Winston, tr. 182, ISBN 978-0-03-077670-0
^ Stifel, Michael (1544), Arithmetica integra (bằng tiếng Latinh), tr. 31Quản lý CS1: ngôn ngữ không rõ (liên kết). Một bảng tương tự khác gồm 9 số xuất hiện ở tr. 237, và một bảng khác nữa ở tr. 249b được mở rộng sang lũy thừa âm.
^ Joseph, G. G. (2011), The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics (ấn bản 3), Princeton University Press, tr. 352.
^ Chẳng hạn xem Shparlinski, Igor (2013), Cryptographic Applications of Analytic Number Theory: Complexity Lower Bounds and Pseudorandomness, Progress in Computer Science and Applied Logic, 22, Birkhäuser, tr. 35, ISBN 978-3-0348-8037-4.
^ Euler, Leonhard (1739), “Chapter VII. De Variorum Intervallorum Receptis Appelationibus”, Tentamen novae theoriae musicae ex certissismis harmoniae principiis dilucide expositae (bằng tiếng Latinh), Viện Hàn lâm Khoa học Saint Petersburg, tr. 102–112Quản lý CS1: ngôn ngữ không rõ (liên kết).
^ Tegg, Thomas (1829), “Binary logarithms”, London encyclopaedia; or, Universal dictionary of science, art, literature and practical mechanics: comprising a popular view of the present state of knowledge, Volume 4, tr. 142–143.
^ Batschelet, E. (2012), Introduction to Mathematics for Life Scientists, Springer, tr. 128, ISBN 978-3-642-96080-2.
^ Chẳng hạn, Microsoft Excel có hàm IMLOG2 để tính logarit nhị phân phức; xem Bourg, David M. (2006), Excel Scientific and Engineering Cookbook, O'Reilly Media, tr. 232, ISBN 978-0-596-55317-3.
^ Kolman, Bernard; Shapiro, Arnold (1982), “11.4 Properties of Logarithms”, Algebra for College Students, Academic Press, tr. 334–335, ISBN 978-1-4832-7121-7.
^ Cormen, Thomas H.; Leiserson, Charles E.; Rivest, Ronald L.; Stein, Clifford (2001) [1990], Introduction to Algorithms (ấn bản 2), MIT Press và McGraw-Hill, tr. 34, 53–54, ISBN 0-262-03293-7
^ Sedgewick, Robert; Wayne, Kevin Daniel (2011), Algorithms, Addison-Wesley Professional, tr. 185, ISBN 978-0-321-57351-3.
^ The Chicago Manual of Style (ấn bản 25), University of Chicago Press, 2003, tr. 530.
^ Knuth, Donald E. (1997), Fundamental Algorithms, The Art of Computer Programming, 1 (ấn bản 3), Addison-Wesley Professional, ISBN 978-0-321-63574-7, tr. 11. Ký hiệu này cũng xuất hiện trong ấn bản 2 của cuốn sách năm 1973 (tr. 23) nhưng không có phần ghi công Reingold.
^ Trucco, Ernesto (1956), “A note on the information content of graphs”, The Bulletin of Mathematical Biophysics, 18 (2): 129–135, doi:10.1007/BF02477836, MR 0077919.
^ Mitchell, John N. (1962), “Computer multiplication and division using binary logarithms”, IRE Transactions on Electronic Computers, EC-11 (4): 512–517, doi:10.1109/TEC.1962.5219391.
^ Fiche, Georges; Hebuterne, Gerard (2013), Mathematics for Engineers, John Wiley & Sons, tr. 152, ISBN 978-1-118-62333-6, In the following, and unless otherwise stated, the notation $log x$ always stands for the logarithm to the base $2$ of $x$ .
^ Cover, Thomas M.; Thomas, Joy A. (2012), Elements of Information Theory (ấn bản 2), John Wiley & Sons, tr. 33, ISBN 978-1-118-58577-1, Unless otherwise specified, we will take all logarithms to base $2$ .
^ Goodrich, Michael T.; Tamassia, Roberto (2002), Algorithm Design: Foundations, Analysis, and Internet Examples, John Wiley & Sons, tr. 23, One of the interesting and sometimes even surprising aspects of the analysis of data structures and algorithms is the ubiquitous presence of logarithms ... As is the custom in the computing literature, we omit writing the base $b$ of the logarithm when $b = 2$ .
^ Tafel, Hans Jörg (1971). Einführung in die digitale Datenverarbeitung [Giới thiệu về xử lý thông tin số] (bằng tiếng Đức). Munich: Carl Hanser Verlag. tr. 20–21. ISBN 3-446-10569-7.
^ Tietze, Ulrich; Schenk, Christoph (1999). Halbleiter-Schaltungstechnik (bằng tiếng Đức) (ấn bản 11). Springer Verlag. tr. 1370. ISBN 3-540-64192-0.
^ Bauer, Friedrich L. (2009). Origins and Foundations of Computing: In Cooperation with Heinz Nixdorf MuseumsForum. Springer Science+Business Media. tr. 54. ISBN 978-3-642-02991-2..
^ Với DIN 1302 xem Brockhaus Enzyklopädie in zwanzig Bänden [Bách khoa toàn thư Brockhaus trong hai mươi tập] (bằng tiếng Đức), 11, Wiesbaden: F.A. Brockhaus, 1970, tr. 554, ISBN 978-3-7653-0000-4.
^ Với ISO 31-11 xem Thompson, Ambler; Taylor, Barry M (tháng 3 năm 2008), Guide for the Use of the International System of Units (SI) — NIST Special Publication 811, 2008 Edition — Second Printing (PDF), NIST, tr. 33.
^ Với ISO 80000-2 xem “Quantities and units – Part 2: Mathematical signs and symbols to be used in the natural sciences and technology” (PDF), International Standard ISO 80000-2 (ấn bản 1), 1 tháng 12 năm 2009, Section 12, Exponential and logarithmic functions, tr. 18.

Liên kết ngoài

Weisstein, Eric W., "Binary Logarithm", MathWorld.
Anderson, Sean Eron (ngày 12 tháng 12 năm 2003), “Find the log base 2 of an N-bit integer in O(lg(N)) operations”, Bit Twiddling Hacks, Stanford University, truy cập ngày 25 tháng 11 năm 2015
Feynman and the Connection Machine

Bài viết liên quan đến toán học này vẫn còn sơ khai. Bạn có thể giúp Wikipedia mở rộng nội dung để bài được hoàn chỉnh hơn.

[10] Đây là ký hiệu được dùng trong Bách khoa toàn thư Toán học và The Princeton Companion to Mathematics.

[1] Groza, Vivian Shaw; Shelley, Susanne M. (1972), Precalculus mathematics, New York: Holt, Rinehart and Winston, tr. 182, ISBN 978-0-03-077670-0

[2] Stifel, Michael (1544), Arithmetica integra (bằng tiếng Latinh), tr. 31Quản lý CS1: ngôn ngữ không rõ (liên kết). Một bảng tương tự khác gồm 9 số xuất hiện ở tr. 237, và một bảng khác nữa ở tr. 249b được mở rộng sang lũy thừa âm.

[3] Joseph, G. G. (2011), The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics (ấn bản 3), Princeton University Press, tr. 352.

[4] Chẳng hạn xem Shparlinski, Igor (2013), Cryptographic Applications of Analytic Number Theory: Complexity Lower Bounds and Pseudorandomness, Progress in Computer Science and Applied Logic, 22, Birkhäuser, tr. 35, ISBN 978-3-0348-8037-4.

[5] Euler, Leonhard (1739), “Chapter VII. De Variorum Intervallorum Receptis Appelationibus”, Tentamen novae theoriae musicae ex certissismis harmoniae principiis dilucide expositae (bằng tiếng Latinh), Viện Hàn lâm Khoa học Saint Petersburg, tr. 102–112Quản lý CS1: ngôn ngữ không rõ (liên kết).

[6] Tegg, Thomas (1829), “Binary logarithms”, London encyclopaedia; or, Universal dictionary of science, art, literature and practical mechanics: comprising a popular view of the present state of knowledge, Volume 4, tr. 142–143.

[7] Batschelet, E. (2012), Introduction to Mathematics for Life Scientists, Springer, tr. 128, ISBN 978-3-642-96080-2.

[8] Chẳng hạn, Microsoft Excel có hàm IMLOG2 để tính logarit nhị phân phức; xem Bourg, David M. (2006), Excel Scientific and Engineering Cookbook, O'Reilly Media, tr. 232, ISBN 978-0-596-55317-3.

[9] Kolman, Bernard; Shapiro, Arnold (1982), “11.4 Properties of Logarithms”, Algebra for College Students, Academic Press, tr. 334–335, ISBN 978-1-4832-7121-7.

[clrs-11] Cormen, Thomas H.; Leiserson, Charles E.; Rivest, Ronald L.; Stein, Clifford (2001) [1990], Introduction to Algorithms (ấn bản 2), MIT Press và McGraw-Hill, tr. 34, 53–54, ISBN 0-262-03293-7

[sw11-12] Sedgewick, Robert; Wayne, Kevin Daniel (2011), Algorithms, Addison-Wesley Professional, tr. 185, ISBN 978-0-321-57351-3.

[13] The Chicago Manual of Style (ấn bản 25), University of Chicago Press, 2003, tr. 530.

[knuth-14] Knuth, Donald E. (1997), Fundamental Algorithms, The Art of Computer Programming, 1 (ấn bản 3), Addison-Wesley Professional, ISBN 978-0-321-63574-7, tr. 11. Ký hiệu này cũng xuất hiện trong ấn bản 2 của cuốn sách năm 1973 (tr. 23) nhưng không có phần ghi công Reingold.

[15] Trucco, Ernesto (1956), “A note on the information content of graphs”, The Bulletin of Mathematical Biophysics, 18 (2): 129–135, doi:10.1007/BF02477836, MR 0077919.

[16] Mitchell, John N. (1962), “Computer multiplication and division using binary logarithms”, IRE Transactions on Electronic Computers, EC-11 (4): 512–517, doi:10.1109/TEC.1962.5219391.

[17] Fiche, Georges; Hebuterne, Gerard (2013), Mathematics for Engineers, John Wiley & Sons, tr. 152, ISBN 978-1-118-62333-6, In the following, and unless otherwise stated, the notation $log x$ always stands for the logarithm to the base $2$ of $x$ .

[18] Cover, Thomas M.; Thomas, Joy A. (2012), Elements of Information Theory (ấn bản 2), John Wiley & Sons, tr. 33, ISBN 978-1-118-58577-1, Unless otherwise specified, we will take all logarithms to base $2$ .

[gt02-19] Goodrich, Michael T.; Tamassia, Roberto (2002), Algorithm Design: Foundations, Analysis, and Internet Examples, John Wiley & Sons, tr. 23, One of the interesting and sometimes even surprising aspects of the analysis of data structures and algorithms is the ubiquitous presence of logarithms ... As is the custom in the computing literature, we omit writing the base $b$ of the logarithm when $b = 2$ .

[Tafel_1971-20] Tafel, Hans Jörg (1971). Einführung in die digitale Datenverarbeitung [Giới thiệu về xử lý thông tin số] (bằng tiếng Đức). Munich: Carl Hanser Verlag. tr. 20–21. ISBN 3-446-10569-7.

[Tietze_Schenk_1999-21] Tietze, Ulrich; Schenk, Christoph (1999). Halbleiter-Schaltungstechnik (bằng tiếng Đức) (ấn bản 11). Springer Verlag. tr. 1370. ISBN 3-540-64192-0.

[Bauer_2009-22] Bauer, Friedrich L. (2009). Origins and Foundations of Computing: In Cooperation with Heinz Nixdorf MuseumsForum. Springer Science+Business Media. tr. 54. ISBN 978-3-642-02991-2..

[23] Với DIN 1302 xem Brockhaus Enzyklopädie in zwanzig Bänden [Bách khoa toàn thư Brockhaus trong hai mươi tập] (bằng tiếng Đức), 11, Wiesbaden: F.A. Brockhaus, 1970, tr. 554, ISBN 978-3-7653-0000-4.

[24] Với ISO 31-11 xem Thompson, Ambler; Taylor, Barry M (tháng 3 năm 2008), Guide for the Use of the International System of Units (SI) — NIST Special Publication 811, 2008 Edition — Second Printing (PDF), NIST, tr. 33.

[25] Với ISO 80000-2 xem “Quantities and units – Part 2: Mathematical signs and symbols to be used in the natural sciences and technology” (PDF), International Standard ISO 80000-2 (ấn bản 1), 1 tháng 12 năm 2009, Section 12, Exponential and logarithmic functions, tr. 18.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[a]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

@@ Dòng 10: / Dòng 10: @@
 Trong lịch sử, ứng dụng đầu tiên của logarit nhị phân nằm trong [[lý thuyết âm nhạc]] do [[Leonhard Euler]] tìm ra: logarit nhị phân của tỷ lệ tần số giữa hai [[tông nhạc]] cho biết số [[quãng tám]] nằm giữa hai tông đó. Logarit nhị phân có thể được dùng để tính độ dài của một số khi được biểu diễn trong [[hệ nhị phân]], hoặc số [[bit]] cần để mã hóa một thông điệp nào đó trong [[lý thuyết thông tin]]. Trong [[khoa học máy tính]], nó đếm số bước cần để thực thi thuật toán [[tìm kiếm nhị phân]] và các thuật toán có liên quan khác. Logarit nhị phân cũng có nhiều ứng dụng trong một số lĩnh vực như [[toán học tổ hợp]], [[tin sinh học]], [[nhiếp ảnh]] và trong thiết kế các [[giải đấu]] thể thao.
-Logarit nhị phân là một trong các hàm toán học cơ bản của ngôn ngữ [[C (ngôn ngữ lập trình)|C]] và có trong một số bộ chương trình phần mềm toán học khác. Phần nguyên của logarit nhị phân có thể được tìm qua phép toán ''[[find first set]]'' (tìm bit 1 đầu tiên) trên một giá trị nguyên hoặc tìm số mũ của một giá trị [[Số thực dấu phẩy động|dấu phẩy động]], trong khi phần thập phân có thể tính được một cách hiệu quả.<!-- "calculated efficiently" có phải là thuật ngữ chuyên ngành?  -->
+Logarit nhị phân là một trong các hàm toán học cơ bản của ngôn ngữ [[C (ngôn ngữ lập trình)|C]] và có trong một số bộ chương trình phần mềm toán học khác. Phần nguyên của logarit nhị phân có thể được tìm qua phép toán [[tìm bit 1 đầu tiên]] trên một giá trị nguyên hoặc tìm số mũ của một giá trị [[Số thực dấu phẩy động|dấu phẩy động]], trong khi phần thập phân có thể tính được một cách hiệu quả.<!-- "calculated efficiently" có phải là thuật ngữ chuyên ngành?  -->
-== Tham khảo ==
+== Lịch sử ==
+{{Chính|Lịch sử logarit}}
-{{Tham khảo}}
+[[Tập tin:Leonhard Euler.jpg|nhỏ|upright=0.75|[[Leonhard Euler]] là người đầu tiên ứng dụng logarit nhị phân vào [[lý thuyết âm nhạc]] năm 1739.]]
+[[Lũy thừa của 2]] đã được biết đến từ thời cổ xưa; chẳng hạn, chúng xuất hiện trong [[Cơ sở (Euclid)|bộ ''Cơ sở'' của Euclid]], mệnh đề IX.32 (về [[Phân tích nhân tử|phân tích]] lũy thừa của 2) và IX.36 (một nửa [[định lý Euclid–Euler]] về sự xây dựng các [[số hoàn thiện]] chẵn), và logarit nhị phân chính là vị trí của chúng trong dãy lũy thừa của 2 được sắp xếp. Trên cơ sở đó, [[Michael Stifel]] được cho là đã xuất bản bảng logarit nhị phân đầu tiên vào năm 1544. Cuốn ''Arithmetica Integra'' của ông có một vài bảng số gồm các [[số nguyên]] và lũy thừa của 2 tương ứng. Khi đảo ngược các hàng trong các bảng số này thì chúng có thể được xem là bảng logarit nhị phân.<ref>{{Citation|title=Precalculus mathematics|first1=Vivian Shaw|last1=Groza|first2=Susanne M.|last2=Shelley|publisher=Holt, Rinehart and Winston|location=New York|year=1972|isbn=978-0-03-077670-0|page=182|url=https://books.google.com/books?id=yM_lSq1eJv8C&pg=PA182}}</ref><ref>{{citation|last=Stifel|first=Michael|author-link=Michael Stifel|language=Latinh|page=31|title=Arithmetica integra|url=https://books.google.com/books?id=fndPsRv08R0C&pg=PA22|year=1544}}. Một bảng tương tự khác gồm 9 số xuất hiện ở tr. 237, và một bảng khác nữa ở tr. 249b được mở rộng sang lũy thừa âm.</ref>
+Trước Stifel, nhà toán học [[Kỳ Na giáo|Kỳ Na]] thế kỷ 8 [[Virasena]] được cho là đã tìm ra tiền thân của logarit nhị phân. Khái niệm ''ardhachena'' của Virasena được xác định là số lần một số cho trước có thể chia hết cho 2. Định nghĩa này làm nảy sinh khái niệm về một hàm số trùng hợp với logarit nhị phân về mặt lũy thừa của 2,<ref>{{citation|page=[https://books.google.com/books?id=ymud91nTc9YC&pg=PA352 352]|title=The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics|first=G. G.|last=Joseph|edition=3rd|publisher=Princeton University Press|year=2011}}.</ref> nhưng hàm này có điểm khác biệt khi cho biết [[Cấp p-adic|cấp 2-adic]] của một số nguyên thay vì logarit.<ref>Chẳng hạn xem {{citation|title=Cryptographic Applications of Analytic Number Theory: Complexity Lower Bounds and Pseudorandomness|volume=22|series=Progress in Computer Science and Applied Logic|first=Igor|last=Shparlinski|publisher=Birkhäuser|year=2013|isbn=978-3-0348-8037-4|page=35|url=https://books.google.com/books?id=z635BwAAQBAJ&pg=PA35}}.</ref>
+Dạng hiện đại của logarit nhị phân, áp dụng cho bất kỳ số nào (không chỉ có lũy thừa của 2) do [[Leonhard Euler]] phát hiện vào năm 1739. Euler cũng là người đầu tiên tìm ra ứng dụng của logarit nhị phân trong lý thuyết âm nhạc, từ lâu trước khi người ta được biết ứng dụng của chúng trong lý thuyết thông tin và khoa học máy tính. Trong công trình của ông, Euler đã lập được bảng logarit nhị phân của các số nguyên từ 1 đến 8 chính xác đến 7 chữ số thập phân.<ref>{{citation|last=Euler|first=Leonhard|author-link=Leonhard Euler|contribution=Chapter VII. De Variorum Intervallorum Receptis Appelationibus|language=Latinh|pages=102–112|publisher=Viện Hàn lâm Khoa học Saint Petersburg|title=Tentamen novae theoriae musicae ex certissismis harmoniae principiis dilucide expositae|url=http://eulerarchive.maa.org/pages/E033.html|year=1739}}.</ref><ref>{{citation|title=London encyclopaedia; or, Universal dictionary of science, art, literature and practical mechanics: comprising a popular view of the present state of knowledge, Volume 4|first=Thomas|last=Tegg|year=1829|contribution=Binary logarithms|pages=142–143|url=https://books.google.com/books?id=E-ZTAAAAYAAJ&pg=PA142}}.</ref>
+== Định nghĩa và tính chất ==
+Hàm logarit nhị phân được định nghĩa là [[hàm ngược]] của hàm [[lũy thừa của 2]], vốn là một hàm số tăng trên tập hợp [[số thực]] dương và do đó có một hàm ngược duy nhất.<ref>{{citation|title=Introduction to Mathematics for Life Scientists|publisher=Springer|year=2012|first=E.|last=Batschelet|isbn=978-3-642-96080-2|url=https://books.google.com/books?id=vbT0CAAAQBAJ&pg=PA128|page=128}}.</ref> Ngoài ra, nó cũng được xác định bằng {{math|ln ''n''/ln 2}} với {{math|ln}} là [[logarit tự nhiên]]. Trong định nghĩa, khi thay logarit thực bằng [[logarit phức]] thì logarit nhị phân có thể được mở rộng cho [[số phức]].<ref>Chẳng hạn, [[Microsoft Excel]] có hàm <code>IMLOG2</code> để tính logarit nhị phân phức; xem {{citation|title=Excel Scientific and Engineering Cookbook|first=David M.|last=Bourg|publisher=O'Reilly Media|year=2006|isbn=978-0-596-55317-3|page=232|url=https://books.google.com/books?id=uKctiVg2dyIC&pg=PT248}}.</ref>
+Giống như logarit thông thường, logarit nhị phân thỏa mãn các tính chất sau:<ref>{{citation|title=Algebra for College Students|first1=Bernard|last1=Kolman|first2=Arnold|last2=Shapiro|publisher=Academic Press|year=1982|isbn=978-1-4832-7121-7|url=https://books.google.com/books?id=i7vSBQAAQBAJ&pg=PA334|pages=334–335|contribution=11.4 Properties of Logarithms}}.</ref>
+: <math>\log_2 xy=\log_2 x + \log_2 y</math>
+: <math>\log_2\frac{x}{y}=\log_2 x - \log_2 y</math>
+: <math>\log_2 x^y = y\log_2 x.</math>
+Với các tính chất khác, xem [[danh sách đồng nhất thức logarit]].
+== Ký hiệu ==
+Trong toán học, logarit nhị phân của một số {{Math|''n''}} được ký hiệu là {{math|log<sub>2</sub>{{hsp}}''n''}}.{{Efn|Đây là ký hiệu được dùng trong [[Bách khoa toàn thư Toán học]] và [[The Princeton Companion to Mathematics]].}} Tuy nhiên, tùy theo lĩnh vực mà nó được sử dụng, còn tồn tại thêm một số ký hiệu khác.
+Một số tác giả ký hiệu logarit nhị phân là {{math|lg ''n''}};<ref name="clrs">{{citation|last1=Cormen|first1=Thomas H.|last2=Leiserson|first2=Charles E.|last3=Rivest|first3=Ronald L.|last4=Stein|first4=Clifford|title=Introduction to Algorithms|origyear=1990|year=2001|edition=2nd|publisher=MIT Press và McGraw-Hill|isbn=0-262-03293-7|pages=34, 53–54}}</ref><ref name="sw11">{{citation|title=Algorithms|first1=Robert|last1=Sedgewick|first2=Kevin Daniel|last2=Wayne|publisher=Addison-Wesley Professional|year=2011|isbn=978-0-321-57351-3|page=185|url=https://books.google.com/books?id=MTpsAQAAQBAJ&pg=PA185}}.</ref> đây là ký hiệu được liệt kê trong ''[[The Chicago Manual of Style]]''.<ref>{{citation|title=The Chicago Manual of Style|year=2003|edition=25th|publisher=University of Chicago Press|page=530}}.</ref> Theo [[Donald Knuth]], ký hiệu này do [[Edward Reingold]] đề xuất,<ref name="knuth">{{citation|series=[[The Art of Computer Programming]]|volume=1|title=Fundamental Algorithms|first=Donald E.|last=Knuth|authorlink=Donald Knuth|edition=3rd|publisher=Addison-Wesley Professional|year=1997|isbn=978-0-321-63574-7}}, [https://books.google.com/books?id=x9AsAwAAQBAJ&pg=PA11 tr.&nbsp;11]. Ký hiệu này cũng xuất hiện trong ấn bản 2 của cuốn sách năm 1973 (tr. 23) nhưng không có phần ghi công Reingold.</ref> nhưng thực tế nó đã được dùng trong lý thuyết thông tin và khoa học máy tính từ trước khi Reingold bắt đầu sự nghiệp.<ref>{{citation|last=Trucco|first=Ernesto|doi=10.1007/BF02477836|journal=The Bulletin of Mathematical Biophysics|mr=0077919|pages=129–135|title=A note on the information content of graphs|volume=18|issue=2|year=1956}}.</ref><ref>{{citation|last=Mitchell|first=John N.|doi=10.1109/TEC.1962.5219391|issue=4|journal=IRE Transactions on Electronic Computers|pages=512–517|title=Computer multiplication and division using binary logarithms|volume=EC-11|year=1962}}.</ref> Logarit tự nhiên cũng được viết là {{math|log ''n''}} cùng một câu trước đó giải thích rằng cơ số mặc định của logarit là {{Math|2}}.<ref>{{citation|title=Mathematics for Engineers|first1=Georges|last1=Fiche|first2=Gerard|last2=Hebuterne|publisher=John Wiley & Sons|year=2013|isbn=978-1-118-62333-6|page=152|url=https://books.google.com/books?id=TqkckiuuXg8C&pg=PT152|quote=In the following, and unless otherwise stated, the notation {{math|log ''x''}} always stands for the logarithm to the base {{math|2}} of {{mvar|x}}}}.</ref><ref>{{citation|title=Elements of Information Theory|first1=Thomas M.|last1=Cover|first2=Joy A.|last2=Thomas|edition=2nd|publisher=[[John Wiley & Sons]]|year=2012|isbn=978-1-118-58577-1|page=33|url=https://books.google.com/books?id=VWq5GG6ycxMC&pg=PT33|quote=Unless otherwise specified, we will take all logarithms to base {{math|2}}}}.</ref><ref name="gt02">{{citation|first1=Michael T.|last1=Goodrich|first2=Roberto|last2=Tamassia|title=Algorithm Design: Foundations, Analysis, and Internet Examples|publisher=John Wiley & Sons|year=2002|page=23|quote=One of the interesting and sometimes even surprising aspects of the analysis of data structures and algorithms is the ubiquitous presence of logarithms&nbsp;... As is the custom in the computing literature, we omit writing the base {{mvar|b}} of the logarithm when {{math|1=''b''&nbsp;=&nbsp;2}}.}}</ref> Một ký hiệu khác của chính hàm số đó (đặc biệt xuất hiện trong các bài viết khoa học của [[Đức]]) là {{math|ld ''n''}}, viết tắt của cụm từ ''logarithmus dualis'' hoặc ''logarithmus dyadis'' trong [[tiếng Latinh]].<ref name="Tafel_1971">{{cite book|title=Einführung in die digitale Datenverarbeitung|last=Tafel|first=Hans Jörg|date=1971|publisher=Carl Hanser Verlag|year=|isbn=3-446-10569-7|location=Munich|pages=20–21|language=de|trans-title=Giới thiệu về xử lý thông tin số}}</ref><ref name="Tietze_Schenk_1999">{{cite book|url=https://archive.org/details/halbleiterschalt00tiet_103|title=Halbleiter-Schaltungstechnik|author-last1=Tietze|author-first1=Ulrich|author-last2=Schenk|author-first2=Christoph|date=1999|publisher=Springer Verlag|year=|isbn=3-540-64192-0|edition=11th|location=|page=[https://archive.org/details/halbleiterschalt00tiet_103/page/n1395 1370]|pages=|language=de}}</ref><ref name="Bauer_2009">{{cite book|url=https://books.google.com/books?id=y4uTaLiN-wQC&pg=PA54|title=Origins and Foundations of Computing: In Cooperation with Heinz Nixdorf MuseumsForum|last=Bauer|first=Friedrich L.|publisher=[[Springer Science+Business Media]]|year=2009|isbn=978-3-642-02991-2|location=|page=54|pages=}}.</ref> Các tiêu chuẩn [[DIN 1302]], [[ISO 31-11]] và [[ISO 80000-2]] còn khuyến nghị dùng một ký hiệu khác nữa, {{math|lb ''n''}}. Theo các tiêu chuẩn này, không nên dùng {{math|lg ''n''}} để ký hiệu logarit nhị phân vì nó được dùng riêng cho [[Logarit thông thường|logarit thập phân]] {{math|log<sub>10</sub> ''n''}}.<ref>Với DIN 1302 xem {{citation|title=Brockhaus Enzyklopädie in zwanzig Bänden|language=de|trans-title=Bách khoa toàn thư Brockhaus trong hai mươi tập|volume=11|page=554|publisher=F.A. Brockhaus|location=Wiesbaden|isbn=978-3-7653-0000-4|year=1970}}.</ref><ref>Với ISO 31-11 xem {{citation|last1=Thompson|first1=Ambler|last2=Taylor|first2=Barry M|date=March 2008|page=33|publisher=[[NIST]]|title=Guide for the Use of the International System of Units (SI) — NIST Special Publication 811, 2008 Edition — Second Printing|url=http://physics.nist.gov/cuu/pdf/sp811.pdf}}.</ref><ref>Với ISO 80000-2 xem {{citation|chapter-url=http://www.ise.ncsu.edu/jwilson/files/mathsigns.pdf|title=International Standard ISO 80000-2|chapter=Quantities and units – Part 2: Mathematical signs and symbols to be used in the natural sciences and technology|edition=1st|date=December 1, 2009|at=Section 12, Exponential and logarithmic functions, tr.&nbsp;18}}.</ref>
+== Ghi chú ==
+{{notelist}}
+== Chú thích ==
+{{Tham khảo|30em}}
 == Liên kết ngoài ==