Hàm khối xác suất

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm
Đồ thị của hàm khối xác suất. Mọi giá trị của hàm phải không âm và có tổng bằng 1.

Trong lý thuyết xác suất, hàm khối xác suất (tiếng Anh:Probability mass function) là một hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc. Hàm cho ta biết xác suất để một biến ngẫu nhiên rời rạc X bằng với một giá trị x_i nào đó trong miền giá trị (không gian mẫu) \Omega_X. Viết tắt của hàm là PMF, kí hiệu là p_X [ x_i ] \;.

Mô tả toán học[sửa | sửa mã nguồn]

Hàm khối xác suất của một con súc sắc chuẩn. Mọi mặt của con súc sắc đều có cơ hội xuất hiện ngang nhau khi ta thả con súc sắc.
Hàm khối xác suất của phân phối nhị thức với các tham số khác nhau. Đường thẳng nối các chấm nhằm mục đích minh họa.

Giả sử X là một biến ngẫu nhiên rời rạc nhằm ánh xạ mỗi đầu ra (outcome) \zeta_i của một phép thử ngẫu nhiên với tương ứng một giá trị x_i, nghĩa là X ( \zeta_i ) = x_i.

Người ta quan tâm đến xác suất để biến ngẫu nhiên đó nhận tương ứng từng giá trị x_i, hay P [ X ( \zeta_i ) = x_i] \; hay p_X [ x_i ] \;. Người ta đặt tên cho xác suất này là hàm khối xác suất, hay thường được gọi ngắn gọn là hàm xác suất. p_X [ x_i ] = P [ X = x_i ] = P [ X ( \zeta ) = x_i ] \;

Cách viết khác cho công thức hàm khối xác suất

p_X[x] = \begin{cases} \Pr[X = x], &x\in \Omega_X,\\0, &x\in \mathbb{R}\backslash \Omega_X.\end{cases}

Chú ý công thức  pX[x]  tính cho mọi giá trị thực, kể cả những giá trị mà biến ngẫu nhiên rời rạc X không bao giờ nhận giá trị; với những giá trị này, xác suất sẽ là 0.

Sự không liên tục của hàm khối xác suất phản ánh sự thật là hàm phân phối tích lũy của biến ngẫu nhiên rời rạc cũng không liên tục.

Ví dụ[sửa | sửa mã nguồn]

Giả sử X là đầu ra của phép thử gieo 1 đồng xu, gán giá trị 0 cho mặt sấp và 1 cho mặt ngửa. Xác suất mà X = x là 0.5 trên không gian trạng thái {0, 1} (Đây là biến ngẫu nhiên Bernoulli), và nó có hàm khối xác suất là

p_X[x] = \begin{cases}\frac{1}{2}, &x \in \{0, 1\},\\0, &x \in \mathbb{R}\backslash\{0, 1\}.\end{cases}

CHÚ Ý: Kí hiệu với X nằm dưới là biến ngẫu nhiên, và [\bullet] nhằm mục đích cho biết đối số bên trong là rời rạc. Tương ứng, khi nói tới biến ngẫu nhiên liên tục, ta sẽ dùng kí hiệu (\bullet).

Tính chất[sửa | sửa mã nguồn]

hàm khối xác suất cũng là một xác suất, nó phải thỏa mãn hệ tiên đề xác suất và có các tính chất thông dụng

  1. miền giá trị: 0 \leq p_X [ x_i ] \leq 1 \;
  2. tổng các giá trị: \sum_{i=1}^M {p_X}[x_i] = 1 (giả sử \Omega_X có M phần tử) hay \sum_{i=1}^\infty {p_X}[x_i] = 1 (giả sử \Omega_X vô hạn đếm được các phần tử)

Các hàm khối xác suất quan trọng[sửa | sửa mã nguồn]

Hàm khối xác suất Bernoulli[sửa | sửa mã nguồn]

Hàm khối xác suất Nhị thức[sửa | sửa mã nguồn]

Hàm khối xác suất Hình học[sửa | sửa mã nguồn]

Hàm khối xác suất Poisson[sửa | sửa mã nguồn]

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

  1. Biến ngẫu nhiên rời rạc
  2. Biến ngẫu nhiên liên tục
  3. Hàm mật độ xác suất