Hàm khối xác suất

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Đồ thị của hàm khối xác suất. Mọi giá trị của hàm phải không âm và có tổng bằng 1.

Trong lý thuyết xác suất, hàm khối xác suất (tiếng Anh:Probability mass function) là một hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc. Hàm cho ta biết xác suất để một biến ngẫu nhiên rời rạc X bằng với một giá trị $x i$ nào đó trong miền giá trị (không gian mẫu) $Ω X$ . Viết tắt của hàm là PMF, kí hiệu là $p_X [ x_i ] \;$ .

[sửa] Mô tả toán học

Hàm khối xác suất của một con xúc sắc chuẩn. Mọi mặt của con xúc sắc đều có cơ hội xuất hiện ngang nhau khi ta thả con xúc sắc.

Tập tin:Binomial distribution pmf.png

Hàm khối xác suất của phân phối nhị thức với các tham số khác nhau. Đường thẳng nối các chấm nhằm mục đích minh họa.

Giả sử X là một biến ngẫu nhiên rời rạc nhằm ánh xạ mỗi đầu ra (outcome) $ζ i$ của một phép thử ngẫu nhiên với tương ứng một giá trị $x i$ , nghĩa là $X (ζ i) = x i$ .

Người ta quan tâm đến xác suất để biến ngẫu nhiên đó nhận tương ứng từng giá trị $x i$ , hay $P [ X ( \zeta_i ) = x_i] \;$ hay $p_X [ x_i ] \;$ . Người ta đặt tên cho xác suất này là hàm khối xác suất, hay thường được gọi ngắn gọn là hàm xác suất. $p_X [ x_i ] = P [ X = x_i ] = P [ X ( \zeta ) = x_i ] \;$

Cách viết khác cho công thức hàm khối xác suất

$p_X[x] = \begin{cases} \Pr[X = x], &x\in \Omega_X,\\0, &x\in \mathbb{R}\backslash \Omega_X.\end{cases}$

Chú ý công thức p_X[x] tính cho mọi giá trị thực, kể cả những giá trị mà biến ngẫu nhiên rời rạc X không bao giờ nhận giá trị; với những giá trị này, xác suất sẽ là 0.

Sự không liên tục của hàm khối xác xuất phản ánh sự thật là hàm phân phối tích lũy của biến ngẫu nhiên rời rạc cũng không liên tục.

[sửa] Ví dụ

Giả sử X là đầu ra của phép thử gieo 1 đồng xu, gán giá trị 0 cho mặt sấp và 1 cho mặt ngửa. Xác suất mà X = x là 0.5 trên không gian trạng thái {0, 1} (Đây là biến ngẫu nhiên Bernoulli), và nó có hàm khối xác suất là

$p_X[x] = \begin{cases}\frac{1}{2}, &x \in \{0, 1\},\\0, &x \in \mathbb{R}\backslash\{0, 1\}.\end{cases}$

CHÚ Ý: Kí hiệu với X nằm dưới là biến ngẫu nhiên, và $[\bullet]$ nhằm mục đích cho biết đối số bên trong là rời rạc. Tương ứng, khi nói tới biến ngẫu nhiên liên tục, ta sẽ dùng kí hiệu $(\bullet)$ .

[sửa] Tính chất

Vì hàm khối xác suất cũng là một xác suất, nó phải thỏa mãn hệ tiên đề xác suất và có các tính chất thông dụng

miền giá trị: $0 \leq p_X [ x_i ] \leq 1 \;$
tổng các giá trị: $\sum_{i=1}^M {p_X}[x_i] = 1$ (giả sử $Ω X$ có M phần tử) hay $\sum_{i=1}^\infty {p_X}[x_i] = 1$ (giả sử $Ω X$ vô hạn đếm được các phần tử)

[sửa] Các hàm khối xác suất quan trọng

[sửa] Hàm khối xác suất Bernoulli

[sửa] Hàm khối xác suất Nhị thức

[sửa] Hàm khối xác suất Hình học

[sửa] Hàm khối xác suất Poisson

[sửa] Xem thêm