Hằng số Erdős–Borwein

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm

Hằng số Erdős–Borwein là tổng của tất cả các nghịch đảo của các số Mersenne. Hằng số này mang tên hai nhà toán học Paul ErdősPeter Borwein.

Theo định nghĩa giá trị của hằng số bằng:


E=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n-1} \approx 1.60669 51524 15291 763\dots

Có thể chứng minh được một số đẳng thức dưới đây


E=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n^2}}\frac{2^n+1}{2^n-1}

E=\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{mn}}

E=1+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n(2^n-1)}

E=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sigma_0(n)}{2^n}

với σ0(n) = d(n) là hàm ước số, có giá trị bằng tổng số ước số nguyên dương của một số tự nhiên. Để chứng minh các đẳng thức này, chú ý rằng chúng đều có dạng chuỗi Lambert và do đó có thể rút gọn được theo lí thuyết về chuỗi Lambert.

Erdős năm 1948 chỉ ra rằng E là một số vô tỉ.

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]