Số nguyên tố Mersenne

Số nguyên tố Mersenne là một số Mersenne (số có dạng lũy thừa của 2 trừ 1: 2ⁿ − 1, một số định nghĩa yêu cầu lũy thừa (n) phải là số nguyên tố) và là một số nguyên tố: ví dụ 31 là số nguyên tố Mersenne vì 31 = 2⁵ − 1, và 31 là số nguyên tố.

Điều kiện cần để M_n là số nguyên tố là n là số nguyên tố, 2⁴ -1 = 15 là hợp số vì 4 không là nguyên tố, nhưng ngược lại không đúng: ví dụ số Mersenne 2047 = 2¹¹ − 1 không là nguyên tố vì nó chia hết cho 89 và 23, mặc dù số 11 là số nguyên tố.

Hiện nay, các số nguyên tố lớn nhất được tìm thấy thường là số nguyên tố Mersenne.

Các số nguyên tố Mersenne có quan hệ chặt chẽ với các số hoàn thiện, nghĩa là các số bằng tổng các ước chân chính của nó. Trong lịch sử, việc nghiên cứu các số nguyên tố Mersenne đã từng bị thay đổi do các liên quan này; vào thế kỷ 4 TCN, Euclid phát biểu rằng nếu M là số nguyên tố Mersenne thì M(M+1)/2 là số hoàn thiện. Vào thế kỷ 18, Leonhard Euler chứng minh rằng tất cả các số hoàn thiện chẵn đều có dạng này. Không một số hoàn thiện lẻ nào được biết, và người ta nghi ngờ rằng chúng không tồn tại.

Tìm các số nguyên tố Mersenne

Đẳng thức

$2^{ab}-1=(2^a-1)\cdot \left(1+2^a+2^{2a}+2^{3a}+\dots+2^{(b-1)a}\right)$

cho biết rằng M_n có thể là số nguyên tố chỉ nếu chính n là số nguyên tố, điều đó làm giản lược bớt việc tìm các số nguyên tố Mersenne. Mệnh đề đảo, nói rằng M_n là số nguyên tố nếu n là số nguyên tố là sai. Số nhỏ nhất cho ví dụ này là 2¹¹-1 = 23×89, là hợp số.

Đã có các thuật toán nhanh để tìm số nguyên tố Mersenne, do đó hiện nay đã biết các số nguyên tố Mersenne rất lớn.

Bốn số nguyên tố Mersenne đầu tiên $M_2=3$, $M_3=7$, $M_5=31$ và $M_7=127$ đã được biết từ cổ xưa. Số thứ năm, $M_{13}=8191$, được tìm thấy vào trước năm 1461; hai số tiếp theo ($M_{17}$ và $M_{19}$) tìm thấy bởi Cataldi vào năm 1588, đồng thời ông còn dự đoán cho các số mũ 23 (bị Fermat bác bỏ), 29 (bị Fermat bác bỏ), 31, 37 (bị Euler bác bỏ). Sau hơn một thế kỷ $M_{31}$ được kiểm tra bởi Euler vào năm 1750 bằng Lý thuyết chỉ số. Số tiếp theo (trong lịch sử, không theo thứ tự số) là $M_{127}$, do Lucas tìm thấy vào năm 1876, sau đó $M_{61}$ do Pervushin tìm vào năm 1883. Hai số nữa ($M_{89}$ và $M_{107}$) được tìm thấy vào thế kỷ 20, bởi Powers vào năm 1911 và 1914.

Từ thế kỷ 17, các số này được mang tên nhà toán học Pháp Marin Mersenne, người đã chứng minh và dự đoán một loạt các số nguyên tố Mersenne với các số mũ: 2, 3, 5, 7, 13, 17, 31, 67, 127, 257. Danh sách của ông đã mắc một số sai lầm, như bao gồm cả M₆₇ (được Kohler chứng minh là hợp số vào năm 1901, cụ thể: $2^{67} - 1 = 193.707.721 \times 761.838.257.287$), M₂₅₇ (được chứng minh là hợp số vào năm 1952), và bỏ quên M₆₁, M₈₉ và M₁₀₇.

Phương pháp tốt nhất để kiểm tra tính nguyên tố của các số Mersenne được dựa vào sự tính toán một dãy tuần hoàn, được phát biểu đầu tiên bởi Lucas năm 1878 và chứng minh bởi Lehmer vào những năm 1930. Hiện nay nó được gọi là kiểm tra Lucas-Lehmer với số Mersenne. Đặc biệt, ta có thể chứng minh rằng (với $n>2$) $M_n=2^n-1$ là số nguyên tố nếu và chỉ nếu M_n chia hết cho S_n-2, trong đó $S_0=4$ và với $k>0$, $S_k=S_{k-1}^2-2$.

Đồ thị biểu diễn số các chữ số của số nguyên tố Mersenne lớn nhất đã biết theo từng năm của kỷ nguyên điện tử. Chú ý rằng trục tung độ đã được logarit hóa.

Việc tìm các số nguyên tố Mersenne thực sự được cách mạng bởi các máy tính điện tử số. Thành công đầu tiên của tư tưởng này thuộc về số nguyên tố Mersenne, M₅₂₁, nhờ nỗ lực khéo léo vào lúc 10:00 P.M. ngày 30-1, 1952 khi sử dụng máy tính tự động Western U.S. National Bureau of Standards (SWAC) tại Institute for Numerical Analysis thuộc Đại học California tại Los Angeles, dưới sự điều khiển trực tiếp của Lehmer, sử dụng chương trình viết và chạy bởi GS R.M. Robinson. Nó là số nguyên tố Mersenne đầu tiên tìm thấy sau 38 năm; số tiếp theo, M₆₀₇, đã được tìm thấy do computer này sau gần hai giờ chạy máy. Ba số tiếp theo  — M₁₂₇₉, M₂₂₀₃, M₂₂₈₁ — đã được tìm thấy với cùng chương trình trên sau nhiều tháng nữa. M₄₂₅₃ là số nguyên tố Mersenne đầu tiên là số nguyên tố siêu lớn (trên 1000 chữ số thập phân-titanic), và M₄₄₄₉₇ là số nguyên tố đẩu tiên có trên 10.000 chữ số thập phân (gigantic).

Đến tháng 9 năm 2008, chỉ mới biết 46 số nguyên tố Mersenne; số lớn nhất đã biết là số (2^{43 112 609} − 1). Cũng như nhiều số nguyên tố Mersenne trước đó, nó được tìm ra nhờ dự án tính toán phân tán trên Internet, được biết với tên gọi Tìm kiếm số nguyên tố Mersenne khổng lồ trên Internet (Great Internet Mersenne Prime Search - GIMPS).

Các định lý về số nguyên tố Mersenne

• Nếu n là số nguyên dương, theo định lý nhị thức ta có thể viết:

$c^n-d^n=(c-d)\sum_{k=0}^{n-1} c^kd^{n-1-k}$,

hay

$(2^a-1)\cdot \left(1+2^a+2^{2a}+2^{3a}+\dots+2^{(b-1)a}\right)=2^{ab}-1$

nhờ đặt $c=2^a$, $d=1$, và $n=b$

chứng minh

$(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^kb^{n-1-k}$

$=\sum_{k=0}^{n-1}a^{k+1}b^{n-1-k}-\sum_{k=0}^{n-1}a^kb^{n-k}$

$=a^n+\sum_{k=1}^{n-1}a^kb^{n-k}-\sum_{k=1}^{n-1}a^kb^{n-k}-b^n$

$=a^n-b^n$

• Nếu $2^n-1$ là số nguyên tố, thì $n$ là số nguyên tố.

Chứng minh

Do

$(2^a-1)\cdot \left(1+2^a+2^{2a}+2^{3a}+\dots+2^{(b-1)a}\right)=2^{ab}-1$

Nếu $n$ không là nguyên tố, hoặc $n=ab$ trong đó $1 < a, b < n$. Do đó, $2^a-1$ là ước của $2^n-1$, hoặc $2^n-1$ không là nguyên tố.

• Với mọi số nguyên tố p lẻ, ước nguyên tố của M_p luôn có dạng $2kp + 1 \equiv \pm 1 \pmod{8}$.

Chứng minh

Gọi q là ước nguyên tố của 2^p - 1 ta có:

$2^p \equiv 1 \pmod{q}$.

Theo định lý nhỏ Fermat ta có:

$2^{q-1} \equiv 1 \pmod{q}$.

Từ đó ta có q là ước chung của 2^p - 1 và 2^{q - 1} - 1, hay là $\gcd (2^p - 1,2^{q - 1} - 1) > 1$(*).

Xét bổ đề sau: Nếu a và b là hai số nguyên dương phân biệt thì $\gcd (2^a - 1,2^b - 1) = 2^{\gcd (a,b)} - 1$.

Thật vậy giả sử $\gcd (a,b) = d$, suy ra a = k₁d và b = k₂d.

Suy ra:

$2^a - 1 = 2^{k_1d} - 1 = \left ( 2^d - 1 \right ) \times A$

$2^b - 1 = 2^{k_2d} - 1 = \left ( 2^d - 1 \right ) \times B$

Tức là bổ đề đã cho là đúng.

Từ bổ đề suy ra: $\gcd (2^p - 1,2^{q - 1} - 1) = 2^{\gcd (p,q - 1)} - 1$.

Giả sử $\gcd (p,q - 1) = 1$ thì suy ra được $\gcd (2^p - 1,2^{q - 1} - 1) = 1$, mâu thuẫn với (*). Do đó ta phải có $\gcd (p,q - 1) > 1$. Do p là số nguyên tố nên $\gcd (p,q - 1) = p$ hay q - 1 = bp.

Do q là ước của M_p lẻ nên q lẻ, suy ra b = 2k hay q = 2kp + 1.

Do 2^p ≡ 1 (mod q) nên 2^{p + 1} ≡ 2 (mod q), suy ra $2^{\frac {p + 1}{2}}$ là căn bậc hai của 2 theo modulo q, tức nó là nghiệm của:

$x^2 \equiv 2 \pmod{q}$.

Theo luật tương hỗ bậc hai:

$q \equiv \pm 1 \pmod{8}$.

Danh sách các số nguyên tố Mersenne đã biết

(dãy A000668 trong OEIS):

#	n	Mn	Số chữ số trong Mn	Ngày tìm được	Người tìm	Phương pháp sử dụng
1	2	3	1	cổ đại	Hy Lạp cổ đại
2	3	7	1	cổ đại	Hy Lạp cổ đại
3	5	31	2	cổ đại	Hy Lạp cổ đại
4	7	127	3	cổ đại	Hy Lạp cổ đại
5	13	8191	4	1456	Khuyết danh
6	17	131071	6	1588	Cataldi
7	19	524287	6	1588	Cataldi
8	31	2147483647	10	1750	Euler
9	61	2305843009213693951	19	1883	Pervushin	Chuỗi Lucas
10	89	618970019…449562111	27	1911	Powers
11	107	162259276…010288127	33	1914	Powers
12	127	170141183…884105727	39	1876	Lucas
13	521	686479766…115057151	157	30 tháng 1 năm 1952	Robinson
14	607	531137992…031728127	183	30 tháng 1 năm 1952	Robinson
15	1 279	104079321…168729087	386	25 tháng 6 năm 1952	Robinson
16	2 203	147597991…697771007	664	7 tháng 10 năm 1952	Robinson
17	2 281	446087557…132836351	687	9 tháng 10 năm 1952	Robinson
18	3 217	259117086…909315071	969	8 tháng 9 năm 1957	Riesel
19	4 253	190797007…350484991	1 281	3 tháng 11 năm 1961	Hurwitz
20	4 423	285542542…608580607	1 332	3 tháng 11 năm 1961	Hurwitz
21	9 689	478220278…225754111	2 917	11 tháng 5 năm 1963	Gillies
22	9 941	346088282…789463551	2 993	16 tháng 5 năm 1963	Gillies
23	11 213	281411201…696392191	3 376	2 tháng 6 năm 1963	Gillies
24	19 937	431542479…968041471	6 002	4 tháng 3 năm 1971	Tuckerman
25	21 701	448679166…511882751	6 533	30 tháng 10 năm 1978	Noll & Nickel
26	23 209	402874115…779264511	6 987	9 tháng 2 năm 1979	Noll
27	44 497	854509824…011228671	13 395	8 tháng 4 năm 1979	Nelson & Slowinski
28	86 243	536927995…433438207	25 962	25 tháng 9 năm 1982	Slowinski
29	110 503	521928313…465515007	33 265	28 tháng 1 năm 1988	Colquitt & Welsh
30	132 049	512740276…730061311	39 751	20 tháng 9 năm 1983	Slowinski
31	216 091	746093103…815528447	65 050	6 tháng 9 năm 1985	Slowinski
32	756 839	174135906…544677887	227 832	19 tháng 2 năm 1992	Slowinski & Gage trên Cray-2 tại Phòng thí nghiệm Harwell
33	859 433	129498125…500142591	258 716	10 tháng 1 năm 1994	Slowinski & Gage
34	1 257 787	412245773…089366527	378 632	3 tháng 9 năm 1996	Slowinski & Gage
35	1 398 269	814717564…451315711	420 921	13 tháng 11 năm 1996	GIMPS / Joel Armengaud
36	2 976 221	623340076…729201151	895 932	24 tháng 8 năm 1997	GIMPS / Gordon Spence [1]
37	3 021 377	127411683…024694271	909 526	27 tháng 1 năm 1998	GIMPS / Roland Clarkson [2]
38	6 972 593	437075744…924193791	2 098 960	1 tháng 6 năm 1999	GIMPS / Nayan Hajratwala [3]
39	13 466 917	924947738…256259071	4 053 946	14 tháng 11 năm 2001	GIMPS / Michael Cameron [4]
40	20 996 011	125976895…855682047	6 320 430	17 tháng 11 năm 2003	GIMPS / Michael Shafer [5]
41*	24 036 583	299410429…733969407	7 235 733	15 tháng 5 năm 2004	GIMPS / Josh Findley [6]
42*	25 964 951	122164630…577077247	7 816 230	18 tháng 2 năm 2005	GIMPS / Martin Nowak [7]
43*	30 402 457	315416475…652943871	9 152 052	15 tháng 12 năm 2005	GIMPS / Curtis Cooper & Steven Boone [8]
44*	32 582 657	124575026…053967871	9 808 358	4 tháng 9 năm 2006	GIMPS / Curtis Cooper & Steven Boone [9]
45*	37 156 667	202254406…308220927	11 185 272	6 tháng 9 năm 2008	GIMPS / Hans-Michael Elvenich
46*	42 643 801	169873516…562314751	12 837 064	12 tháng 4 năm 2009	GIMPS / Odd M. Strindmo
47*	43 112 609	316470269…697152511	12 978 189	23 tháng 8 năm 2008	GIMPS / Edson Smith
48*	57,885,161	581887266…724285951	17,425,170	2013 January 25	GIMPS / Curtis Cooper	LLT / Prime95 on 3 GHz Core 2 Duo PC
Số liệu tính đến tháng 2 năm 2013.

• Chưa khẳng định được có số nguyên tố Mersenne nào nằm giữa số thứ 40 (M_{20 996 011}) và 48 (M_{57 885 161}) trong bảng mà chưa được phát hiện hay không, do đó thứ tự các số đó là tạm thời. Một ví dụ là số thứ 29 được phát hiện ra sau số thứ 30 và 31, số thứ 46 cũng được công bố trước số 45 chỉ có 2 tuần.

• Để hình dung độ lớn của số nguyên tố lớn nhất được tìm thấy (số thứ 48), cần có 4 647 trang giấy A4 để biểu diễn số đó với các chữ số trong hệ cơ số 10, 75 chữ số một dòng và 50 dòng một trang. Nếu dùng giấy định lượng 70g/m², sẽ cần hơn 10 kg giấy (2.324 tờ) để in thành tập dày khoảng 20 cm.

Xem thêm

• Repunit
• Số nguyên tố Fermat
• Hằng số Erdős–Borwein
• Prime95 / MPrime
• Kiểm tra Lucas–Lehmer với các số Mersenne
• Số Mersenne kép
• Mersenne twister
• Bảng số nguyên tố

Liên kết ngoài

• Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS), Orlando, Florida
  • Great Internet Mersenne Prime Search PrimeNet (v5.0): GIMPS Milestones Report
• Prime Mersenne Numbers – History, Theorems and Lists – giải thích
• Mersenne numbers – Wolfram Research/Mathematica
• prime Mersenne numbers – Wolfram Research/Mathematica
• M_q = (8x)² - (3qy)² Mersenne Proof (pdf)
• M_q = x² + d.y² Math Thesis (ps)
• Mersenne Numbers & Mersenne Primes Bibliography with hyperlinks to original publications
• Die neue Primzahl ist 39 Kilometer lang, 11.03.2005.dpa – reportage about prime Mersenne number – detection in detail (German)
• Mersenne prime Wiki
• 43rd Mersenne Prime Found tại MathWorld