Định lý nhỏ Fermat

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm

Định lý nhỏ của Fermat (hay định lý Fermat nhỏ - phân biệt với định lý Fermat lớn) khẳng định rằng nếu p là một số nguyên tố, thì với số nguyên a bất kỳ, apa sẽ chia hết cho p. Nghĩa là:

a^p \equiv a \pmod{p}\,\!

Một cách phát biểu khác của định lý như sau: nếu p là số nguyên tố và a là số nguyên nguyên tố cùng nhau với p, thì ap-1 - 1 sẽ chia hết cho p. Bằng ký hiệu đồng dư ta có:

a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}\,\!

Cũng có một cách phát biểu khác là: Nếu p là một số nguyên tố và a là số nguyên không chia hết cho p, thì a lũy thừa bậc p-1 có số dư bằng 1 khi chia cho p.

Định lý Fermat nhỏ là cơ sở để kiểm tra tính nguyên tố theo xác suất trong kiểm tra Fermat.

Lịch sử[sửa | sửa mã nguồn]

Pierre de Fermat lần đầu thông báo định lý trong một bức thư đề ngày 18 tháng mười, năm 1640 cho bạn ông là Frénicle de Bessy (theo [1]): p chia hết a^{p-1}-1\, khi p là nguyên tố và asố nguyên tố cùng nhau với p.

Như thường lệ, Fermat không chứng minh định lý này chỉ thông báo:

Et cette proposition est généralement vraie en toutes progressions et en tous nombres premiers; de quoi je vous envoierois la démonstration, si je n'appréhendois d'être trop long.

(And this proposition is generally true for all progressions and for all prime numbers; the proof of which I would send to you, if I were not afraid to be too long.)

Euler lần đầu tiên công bố một chứng minh vào năm 1736 trong bài báo tựa đề "Theorematum Quorundam ad Numeros Primos Spectantium Demonstratio", nhưng Leibniz đã có chứng minh với ý tưởng tương tự trong bản thảo không được công bố vào khoảng trước năm 1683.

Tên gọi "định lý nhỏ của Fermat" được dùng lần đầu vào năm 1913 trong Zahlentheorie bởi Kurt Hensel:

Für jede endliche Gruppe besteht nun ein Fundamentalsatz, welcher der kleine Fermatsche Satz genannt zu werden pflegt, weil ein ganz spezieller Teil desselben zuerst von Fermat bewiesen worden ist."

(There is a fundamental theorem holding in every finite group, usually called Fermat's little Theorem because Fermat was the first to have proved a very special part of it.)

Lịch sử xa hơn[sửa | sửa mã nguồn]

Một cách độc lập các nhà toán học Trung Quốc đưa ra một giả thuyết (thường gọi là giả thiết Trung Quốc) rằng p\, là một số nguyên tố nếu và chỉ nếu 2^p \equiv 2 \pmod{p}\,. Đúng là nếu p\, là số nguyên tố, thì 2^p \equiv 2 \pmod{p}\,. Đây là trường hợp đặc biệt của định lý nhỏ của Fermat. Tuy thế, điều ngược lại (nếu \,2^p \equiv 2 \pmod{p} thì p\, là số nguyên tố) là sai. Chẳng hạn, 2^{341}\equiv 2 \pmod{341}\,, nhưng 341=11 \times 31hợp số (nó là số giả nguyên tố (pseudoprime).

Chứng minh[sửa | sửa mã nguồn]

Fermat phát biểu định lý mà không chứng minh. Xem chi tiết trong Các chứng minh của định lý nhỏ Fermat.

Tổng quát hóa[sửa | sửa mã nguồn]

Một dạng tổng quát của định lý này là: nếu p là số nguyên tố và mn là các số nguyên dương thỏa mãn m\equiv n\pmod{p-1}\,, thì \forall a\in\mathbb{Z}: \quad a^m\equiv a^n\pmod{p}..

Định lý Fermat còn được tổng quát hóa bởi Định lý Euler: với modulo n bất kỳ và số nguyên a bất kỳ là số nguyên tố cùng nhau vớí n, ta có

a^{\varphi (n)} \equiv 1 \pmod{n}

trong đó φ(n) là ký hiệu của phi hàm Euler đếm số các số nguyên giữa 1 và n nguyên tố cùng nhau với n. Đây là tổng quát hóa của định lý nhỏ Fermat vì nếu n = p là số nguyên tố thì φ(p) = p − 1.

Tổng quát hơn nữa là Định lý Carmichael.

Một định lý khác tống quát hóa của nó nằm trong các trường hữu hạn.

Số giả nguyên tố[sửa | sửa mã nguồn]

Nếu p là hợp số và có số nguyên a sao cho \,a^{p-1} - 1 chia hết cho p, thì p được gọi là số giả nguyên tố cơ sở a. F. Sarrus vào năm 1820 đã tìm thấy 341 = 11×31 là số giả nguyên tố đầu tiên,với cơ sở 2.

Một số p là số giả nguyên tố cơ sở a với mọi (a,p)=1 thì được gọi là số Carmichael (chẳng hạn 561).

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]