Đường thẳng Simson

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm
Đường thẳng Simson LN (đỏ) của tam giác ABC.

Trong Hình học, định lý về đường thẳng Simson được phát biểu như sau:

Cho tam giác ABC và một điểm P nằm trên đường tròn ngoại tiếp của tam giác. Khi đó, các hình chiếu của điểm P trên các cạnh của tam giác thẳng hàng. Đường thẳng đi qua các hình chiếu đó được gọi là Đường thẳng Simson' của điểm P đối với tam giác ABC. Đường thẳng này được đặt theo tên của nhà toán học Robert Simson.[1] Tuy nhiên, khái niệm này được xuất bản lần đầu bởi William Wallace.[2]

Mệnh đề đảo của định lý này cũng đúng: Nếu hình chiếu của một điểm P trên các cạnh của một tam giác thẳng hàng thì điểm P nằm trên đường tròn ngoại tiếp của tam giác đó.

Đường thẳng Simson của một điểm chính là tam giác bàn đạp của nó nhưng trong trường hợp tam giác đó suy biến thành đường thẳng.

Tính chất[sửa | sửa mã nguồn]

Đường thẳng Simson (màu đỏ) luôn tiếp xúc với tam giác cong Steiner (màu xanh).

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O).

Xét tính chất các đường thẳng Simson của các điểm trên (O).

  • Đường thẳng Simson của đỉnh A của tam giác là đường cao hạ từ đỉnh đó, và đường thẳng Simson của điểm A’ đối xứng với đỉnh A qua tâm O là cạnh BC của tam giác.
  • Nếu PP' là các điểm thuộc (O), thì các góc giữa hai đường thẳng Simson của PP' bằng nửa số đo cung PP'. Trong trường hợp đặc biệt, nếu P và P’ đối xứng nhau qua tâm O, thì các đường thẳng Simson của chúng vuông góc với nhau tại một điểm nằm trên đường tròn chín điểm.
  • Nếu gọi Htrực tâm của tam giác ABC, thì đường thẳng Simson của P đi qua trung điểm của đoạn PH (trung điểm này nằm trên đường tròn chín điểm).
  • Nếu hai tam giác cùng nột tiếp (O), thì góc giữa hai đường thẳng Simson lines của một điểm P trên (O) đối với hai tam giác đó không phụ thuộc vào vị trí của P trên (O).

Mở rộng[sửa | sửa mã nguồn]

Mở rộng 1[sửa | sửa mã nguồn]

Mở rộng thứ nhất: Hình chiếu tương ứng của ba điểm Ap,Bp,Cp trên ba cạnh BC,CA,AB thẳng hàng

Cho điểm P trên đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC, và một đường thẳng d đi qua tâm đường tròn đó. Ba đường thẳng AP,BP,CP cắt đường thẳng d tại ba điểm phân biệt A_p,B_p,C_p. Khi đó hình chiếu của ba điểm A_p,B_p,C_p tương ứng trên ba cạnh BC,CA,AB sẽ thẳng hàng.[3][4]

Mở rộng 2[sửa | sửa mã nguồn]

Mở rộng thứ 2: A propjective of Simson line

Cho điểm P trong mặt phẳng và đường conic, ba đường thẳng phân biệt qua P. Đường thẳng thứ nhất cắt conic tại các điểm A,A’. Định nghĩa các điểm B,B’ và C,C’ tương tự. Gọi S điểm trong mặt phẳng, gọi A0,B0,C0 là ba điểm giao bởi ba đường thẳng SA’, SB’, SC’ với ba cạnh tam giác BC,CA,AB của tam giác ABC khi đó bốn điểm P, A0,B0,C0 thẳng hàng khi nếu và chỉ nếu S nằm trên đường conic. [5] [6] [7]

Mở rộng 3[sửa | sửa mã nguồn]

Mở rộng này của Lazare Carnot một nhà toán học người Pháp.

Định lý Carnot(mở rộng định lý Simson)

Chân của một điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác xuống ba cạnh của tam giác thẳng hàng khi và chỉ khi các góc này bằng nhau.[8]

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Chú thích[sửa | sửa mã nguồn]

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]