Định lý Morley về góc chia ba

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
(đổi hướng từ Định lý Morley)
Bước tới: menu, tìm kiếm
Định lý Morley

Trong hình học phẳng, định lý Morley về góc chia ba được phát biểu như sau: Các giao điểm của các đường phân ba góc kề nhau lập thành một tam giác đều, gọi là tam giác Morley. Định lý được tìm ra năm 1899 bởi nhà toán học người Mỹ gốc Anh Frank Morley.

Định lý Morley thu hút được sự quan tâm của nghiều người nghiên cứu hình học tam giác không chỉ bởi vẻ đẹp kì lạ của nó mà còn vì tam giác Morley không thể dựng được chỉ bằng thước thẳng và compa.

Chứng minh[sửa | sửa mã nguồn]

Có rất nhiều chúng minh cho định lý Morley với các kỹ thuật chứng minh khác nhau.[1] Cách chứng minh trước đây dựa trên các biến đổi lượng giác. Chứng minh hình học đầu tiên đưa ra bởi M. T. Naraniengar năm 1909.[2] Một chứng minh gần đây bằng đại số bởi nhà toán học Alain Connes định lý còn được mở rộng với một trường, và nhà toán học John Conway đưa ra một chứng minh sơ cấp.[3][4]. Định lý Morley không đúng trong hình học không gian không gianhình học hyperbol spherical[5].

Fig 1.   Elementary proof of Morley's trisector theorem

Sau đây là một chứng minh sử dụng lượng giác

sin 3θ ≡ 4 sin θ sin(60°+θ) sin(120°+θ).

Điểm D,E,F được dựng trên cạnh BC như hình vẽ. Ta thấy α+β+γ = 60° do đó ∠CYA = 120°+β và góc của tam giác ΔXEF là α, 60°+β, 60°+γ. Ta lại có sin(60°+β) = DX/XEAC/sin(120°+β) = AY/sin γ theo định lý sin do đó được cao h của tam giác ΔABC đưa ra bởi

h = AB sin 3β = 4AB.AC.DX sin β sin γ / (XE.AY)
  = AC sin 3γ = 4AC.AB.DX sin γ sin β / (XF.AZ).

Do đó XE.AY = XF.AZ tuơng đuơng với XE/XF = AZ/AY. Mặt khác ∠EXF = ∠ZAY do đó hai tam giác XEFAZY là đồng dạng. Do đó các góc đáy của ΔAZY là 60°+β và 60°+γ. Xác định một cách tương tự đối với các góc đáy của hai tam giác ΔBXZ and ΔCYX từ đó dễ dàng xác định được ba góc của tam giác XYZ là 60°.

Độ dài các cạnh và diện tích tam giác Morley[sửa | sửa mã nguồn]

Độ dài của cạnh của tam giác Morley thứ nhất như sau: [6]

a^{'}=b^{'}=c^{'}=8R\sin(A/3)\sin(B/3)\sin(C/3), \,

Trong đó R làm bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC, và A, B,C là các góc của tam giác ABC. Do diện tích của một tam giác đều tính theo công thức \tfrac{\sqrt{3}}{4}a^2 (trong đó a là độ dài cạnh tam giác), từ đó diện tích tam giác Morley là:

\text{Area} = 16 \sqrt{3}R^2\sin^2(A/3)\sin^2(B/3)\sin^2(C/3).

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Chú thích[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ Bogomolny, Alexander, Morley's Miracle, Cut-the-knot, truy cập ngày 2 tháng 1 năm 2010 
  2. ^ Coxeter (1967).
  3. ^ J. Conway's proof, from Bogomolny.
  4. ^ Conway, John (2006), “The Power of Mathematics”, trong Blackwell, Alan; Mackay, David, Power, Cambridge University Press, tr. 36–50, ISBN 978-0-521-82377-7, truy cập ngày 8 tháng 10 năm 2010 
  5. ^ Morley's Theorem in Spherical Geometry, Java applet.
  6. ^ Weisstein, Eric W. "First Morley Triangle." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. [1]

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]