Định lý bốn màu

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm
Ví dụ về bản đồ bốn màu

Định lý bốn màu (còn gọi là định lý bản đồ bốn màu) nghĩ rằng đối với bất kỳ mặt phẳng nào được chia thành các vùng phân biệt, chẳng hạn như bản đồ hành chính của một quốc gia, chỉ cần dùng tối đa bốn màu để phân biệt các vùng lân cận với nhau. Hai vùng được coi là lân cận nếu như chúng có chung nhau một đoạn đường biên, không tính chung nhau một điểm.

Định lý bốn màu là định lý lớn đầu tiên được chứng minh bằng máy vi tính. Tuy nhiên một số nhà toán học không đồng tình với cách chứng minh này, bởi vì con người không thể kiểm chứng trực tiếp được cách chứng minh. Do vậy, muốn tin vào chứng minh này thì người ta phải công nhận sự chính xác của Trình biên dịchphần cứng máy tính được sử dụng để chạy chương trình chứng minh.

Lịch sử[sửa | sửa mã nguồn]

Vấn đề này lần đầu tiên được đề cập vào năm 1852 bởi Francis Guthrie khi ông thử tô màu bản đồ nước Anh và ông nhận ra rằng chỉ cần bốn màu khác nhau là đủ. Ông đã đem vấn đề này hỏi người anh trai là Fredrick, lúc đó đang là sinh viên của trường Đại học Học viện London (UCL). Fredrick đã đưa vấn đề này hỏi thầy của mình là nhà toán học Augustus De Morgan nhưng người thầy cũng chưa biết rõ vấn đề này.

Người đầu tiên giới thiệu vấn đề ra trước công chúng là nhà toán học Arthur Cayley vào năm 1878 tại Hội Toán học London, ông đã chỉ ra người đề cập vấn đề là De Morgan. Vào tháng 10/1852, giáo sư De Morgan ở trường Đại học Luân Đôn viết thư cho đồng nghiệp của mình là ông William Hamilton để bàn về bài toán: "Mọi bản đồ đều có thể tô bằng 4 màu sao cho hai nước nằm kề nhau phải được tô bằng hai màu khác nhau".[1]

Người đầu tiên chứng minh định lý này là Alfred Kempe vào năm 1879. Năm 1880, có thêm một cách chứng minh khác của Peter Guthrie Tait. Nhưng đến năm 1890 Percy Heawood đã chỉ ra sai lầm trong cách chứng minh của Kempe, và đến năm 1891 Julius Petersen chỉ ra sai lầm trong cách chứng minh của Tait.

Trong việc chỉ ra sai lầm của Kempe, Heawood còn chứng minh rằng tất cả các Đồ thị phẳng phải sử dụng năm màu khác nhau, và làm cơ sở phát triển cho lời giải sau này. Xem Định lý năm màu.

Trong những năm 1960 và 1970, nhà toán học người Đức là Heinrich Heesch đã phát triển phương pháp sử dụng máy vi tính cho việc chứng minh vấn đề.

Năm 1976, cuối cùng thì định lý cũng được chứng minh bởi Kenneth AppelWolfgang Haken tại trường Đại học Illinois với sự trợ giúp của máy vi tính (trong khoãng 1000 giờ máy). Nhà khoa học John A. Koch cũng góp phần cải tiến thuật toán để giải quyết trọn vẹn bài toán 4 màu.”[2]

Không áp dụng vào thực tế[sửa | sửa mã nguồn]

Mặc dù định lý được phát hiện ra trong quá trình tô màu bản đồ, nhưng trên thực tế nó rất ít khi được áp dụng vào khoa học vẽ bản đồ. Nhiều bản đồ phải sử dụng nhiều hơn bốn màu để thể hiện các khu vực, ngoài ra có những bản đồ sử dụng ít hơn bốn màu.

Hầu hết các bản đồ thực tế đều có vẽ hồ ao, mà tất cả hồ ao này phải vẽ cùng màu. Do vậy làm tăng số lượng màu cần thiết để vẽ các vùng đất. Nếu bỏ qua không vẽ hồ ao, thì trên thực tế vẫn có những vùng đất của cùng một quốc gia nhưng bị tách rời nhau, do đó phải vẽ cùng màu và định lý không áp dụng được.

Các sách vở về môn Bản đồ học cũng không nhắc đến định lý này. Những người vẽ bản đồ cho rằng họ quan tâm hơn đến việc phối màu bản đồ sao cho đẹp mắt; do vậy việc sử dụng bốn, năm hay nhiều màu hơn không phải là vấn đề đáng bận tâm.

Vị trí các phần lãnh thổ trên thực tế[sửa | sửa mã nguồn]

4CT Inadequacy Example.svg

Những vùng không liên tục[sửa | sửa mã nguồn]

Trên thực tế có nhiều quốc gia mà các phần lãnh thổ không liền kề nhau. Ví dụ như phần lãnh thổ Alaska của nước Mỹ, Nakhchivan của Azerbaijan, hay Kaliningrad của Nga. Nếu việc vẽ bản đồ đòi hỏi các phần lãnh thổ này phải cùng màu thì việc sử dụng bốn màu là không đủ.

Trong toán học, những vùng đất tách rời này được gọi là điểm cô lập của tập hợp miền quốc gia.

Thử xét một hình vẽ đơn giản sau

Trong hình, hai khu vực được đánh dấu "A" cùng thuộc về một quốc gia, và phải được vẽ cùng màu. Bản đồ này phải sử dụng năm màu, nên cần chú ý một số điểm sau.

Các nước chung 1 điểm được xem là không kề nhau

Một số điểm cần chú ý[sửa | sửa mã nguồn]

Để tránh một số hiểu lầm về bài toán 4 màu, chúng ta cần phải lưu ý một số trường hợp đặc biệt mà có thể ngộ nhận là giả thiết 4 màu không đúng:

  • Hai nước có chung 1 điểm được xem là không kề nhau: kề nhau phải có chung đường biên giới. Vì nếu không có quy ước này thì bản đồ có dạng như hình Các nước chung 1 điểm được xem là không kề nhau là phản ví dụ: phải dùng đến 5 màu (do 2 nước đôi một đều có chung 1 điểm).
    Một nước phải là một vùng liên thông
  • Một nước phải là một vùng liên thông. Vì nếu không có quy ước này thì bản đồ có dạng như hình Một nước phải là một vùng liên thông là một ví dụ: bốn nước A, B, C, D đôi một kề nhau; nước E (có hai vùng đất 1 và 2) kề cả 4 nước A, B, C, D nên phải dùng đến 5 màu.
    Bản đồ buộc phải dùng 4 màu
  • Con số 4 màu nói chung không thể hạ thấp xuống hơn: bản đồ có dạng như hình Bản đồ buộc phải dùng 4 màu buộc phải dùng đúng 4 màu.
  • Bản đồ phải được vẽ trên mặt phẳng hay mặt cầu: ta có thể tìm ví dụ về bản đồ vẽ trên phao bơi cần phải dùng trên 5 màu mới có thể tô được.

Giả thuyết 4 màu và số màu đồ thị phẳng[sửa | sửa mã nguồn]

Giả thuyết minh họa đồ thị

Để giải bài toán 4 màu, các nhà toán học đã tìm cách xây dưng các đồ thị tương ứng với các bản đồ và đưa giả thuyết 4 màu về giả thuyết số màu của đồ thị phẳng.

Với mỗi bản đồ, ta có thể định nghĩa một đồ thị:

  • Tập đỉnh: gồm các đỉnh mà mỗi đỉnh tương ứng với một nước trên bản đồ;
  • Tập cạnh: mỗi cạnh tương ướng với 2 nước kề nhau có chung một biên giới

Ví dụ: Hình minh họa đồ thị (G) tương ứng với bản đồ Giả thuyết minh họa đồ thị (G) bên cạnh.

Mỗi vùng được kí hiệu bằng một chữ cái, các chữ này cũng được dùng để ký hiệu các đỉnh của đồ thị.

Từ ví dụ này ta thấy yêu cầu hai nước kề nhau phải có màu khác nhau khi tô bản đồ cũng tương ứng với yêu cầu hai đỉnh kề nhau phải có màu khác nhau khi thực hiện phép tô màu đỉnh cho đồ thị.

Các nhà toán học đã chứng minh được định lý sau đây:

Định lý: Đồ thị (G) được định nghĩa tương ứng với mỗi bản đồ M (theo như định nghĩa trên) luôn là đồ thị phẳng. Cách tô màu mỗi vùng của bản đồ M tương ướng với cách tô màu các đỉnh của đồ thị (G)

Nhờ định lý trên, giả thuyết 4 màu được quy về giả thuyết về số màu của đồ thị phẳng được phát biểu như sau:

Giả thuyết:

Mọi đồ thị phẳng (G) đều có số màu γ(G)≤4

Sau công trình của Kenneth Appel, Wolfgang HakenJohn A. Koch thì giả thuyết trên đã trở thành định lý và ngày nay chúng ta cũng gọi là định lý 4 màu.

Cho đến bây giờ cũng chưa tìm được cách chứng mình định lý 4 màu mà không dùng kiểm chứng bằng máy tính. Một số công trình khác cũng tìm cách cải tiến thuật toán kiểm tra để chạy nhanh hơn.

Chú thích[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ Trần Đan Thư - Dương Anh Đức (2008). Lý Thuyết Đồ Thị. Nhà xuất bản Đại học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh. 
  2. ^ Wilson, Robin (2002). Four Colors Suffice. London: Penguin Books. ISBN 0-691-11533-8. 

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  • Allaire, F. (1997), “Another proof of the four colour theorem—Part I”, Proceedings, 7th Manitoba Conference on Numerical Mathematics and Computing, Congr. Numer. 20: 3–72 
  • Appel, Kenneth; Haken, Wolfgang (1977), “Every Planar Map is Four Colorable Part I. Discharging”, Illinois Journal of Mathematics 21: 429–490 
  • Appel, Kenneth; Haken, Wolfgang; Koch, John (1977), “Every Planar Map is Four Colorable Part II. Reducibility”, Illinois Journal of Mathematics 21: 491–567 
  • Appel, Kenneth; Haken, Wolfgang (October năm 1977), “Solution of the Four Color Map Problem”, Scientific American 237 (4): 108–121, doi:10.1038/scientificamerican1077-108 
  • Appel, Kenneth; Haken, Wolfgang (1989), Every Planar Map is Four-Colorable, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-5103-9 
  • Bernhart, Frank R. (1977), “A digest of the four color theorem.”, Journal of Graph Theory 1: 207–225, doi:10.1002/jgt.3190010305 
  • Cayley, Arthur (1879), “On the colourings of maps”, Proc. Royal Geographical Society (Blackwell Publishing) 1 (4): 259–261, doi:10.2307/1799998, JSTOR 1799998