Định lý mở rộng Tietze

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm

Cho X là một không gian chuẩn tắc, lấy F là một tập đóng trong X.Cho liên tục, khi đó có một ánh xạ liên tục sao cho .

Vì vậy trong một không gian định chuẩn, một hàm thực trên một không gian con đóng có thể được mở rộng thành một hàm thực liên tục trên toàn bộ không gian đó.

Chứng minh[sửa | sửa mã nguồn]

  • Trường hợp f bị chặn

a) Trường hợp tổng quát có thể suy ra từ trường hợp khi mà chúng ta sẽ thu hẹp sự chú ý trong trường hợp này.

b) Theo Định lý Urysohn có một hàm liên tục sao cho:

Lấy . Khi đó ,

c) Chúng ta có hàm số , chúng ta sẽ thu được một hàm số sao cho:

Lấy , Khi đó , và

d) Chuỗi hội tụ đều về hàm liên tục g.

e) Vì , chuỗi hội tụ đều về f.Do đó .

f) Chú ý rằng việc xây dựng này thì

  • Trường hợp f không bị chặn.

a) Giả sử rằng f hoặc bị chặn dưới, hoặc bị chặn trên, lấy h là một phép đồng phôi từ vào .Khi đó miền xác định của là một tập con của , do đó nó có thể mở rộng như hàm liên tục phía trước sao cho

Nếu miền xác định của bao gồm hoặc 0 hoặc 1 khi đó là hàm như ta mong đợi.

Nếu có trường hợp xảy ra như sau: miền xác định của bao gồm cả 0 và 1. Trong trường hợp này lấy .Chú ý rằng C giao F bằng trống.Theo bổ đề Urysohn, có một hàm liên tục sao cho ,. Lấy . Khi đó và miền xác định của là tập con của , khi đó là hàm như ta mong đợi.

b) Nếu f bị chặn dưới khi đó tương tự như trường hợp trước chúng ta có thể sử dụng phép đồng phôi , và chúng ta đặt

Trường hợp f bị chặn trên là tương tự

Chú thích[sửa | sửa mã nguồn]

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]