Định lý mở rộng Tietze

Cho X là một không gian chuẩn tắc, lấy F là một tập đóng trong X.Cho $f\,:F\longrightarrow R$ liên tục, khi đó có một ánh xạ liên tục $g\,:X\longrightarrow R$ sao cho $g/_{F}=f$.

Vì vậy trong một không gian định chuẩn, một hàm thực trên một không gian con đóng có thể được mở rộng thành một hàm thực liên tục trên toàn bộ không gian đó.

Chứng minh

• Trường hợp f bị chặn

a) Trường hợp tổng quát có thể suy ra từ trường hợp khi mà $inf_{F}f=0$ và $sup_{F}f=1$ chúng ta sẽ thu hẹp sự chú ý trong trường hợp này.

b) Theo Định lý Urysohn có một hàm liên tục $g_{1}:\,X\longrightarrow [0,{\frac {1}{3}}]$ sao cho:

$g_{1}(x)={\begin{cases}0,\,x\in f^{-1}[0,{\frac {1}{3}}]\\{\frac {1}{3}}\,,x\in f^{-1}([{\frac {2}{3}},1])\end{cases}}$

Lấy $f_{1}=f-g_{1}$. Khi đó $sup_{X}g_{1}={\frac {1}{3}}$, $sup_{F}f_{1}={\frac {2}{3}}$ và $inf_{F}f_{1}=0$

c) Chúng ta có hàm số $f_{n}\,:F\longrightarrow R,\,\,n\geq 1$, chúng ta sẽ thu được một hàm số $g_{n+1}:\,X\longrightarrow [0,{\frac {1}{3}}({\frac {2}{3}})^{n}]$ sao cho: $g_{n+1}(x)={\begin{cases}0,\,x\in f^{-1}([0,{\frac {1}{3}}({\frac {2}{3}})^{n}])\\{\frac {1}{3}}({\frac {2}{3}})^{n}\,,x\in f^{-1}([({\frac {2}{3}})^{n+1},({\frac {2}{3}})^{n}])\end{cases}}$

Lấy $f_{n+1}=f_{1}-g_{n+1}$, Khi đó $sup_{X}g_{n+1}={\frac {1}{3}}({\frac {2}{3}})^{n}$ và $sup_{F}f_{n+1}=({\frac {2}{3}})^{n+1}$, và $inf_{F}f_{n+1}=0$

d) Chuỗi $\sum _{n=1}^{\infty }g_{n}$ hội tụ đều về hàm liên tục g.

e) Vì $f_{n}=f-\sum _{i=1}^{\infty }g_{i}$, chuỗi $\sum _{n=1}^{\infty }g_{n}/_{F}$ hội tụ đều về f.Do đó $g/_{F}=f$.

f) Chú ý rằng việc xây dựng này thì $inf_{X}{g}=0$ và $sup_{X}{g}=1$

• Trường hợp f không bị chặn.

a) Giả sử rằng f hoặc bị chặn dưới, hoặc bị chặn trên, lấy h là một phép đồng phôi từ $(-\infty ,\infty )$ vào $(0,1)$.Khi đó miền xác định của $f_{1}=h\circ g$ là một tập con của $(0,1)$, do đó nó có thể mở rộng như hàm liên tục $g_{1}$ phía trước sao cho $inf_{x\in X}g_{1}(x)=inf_{x\in F}f_{1}(x)=0$ và $sup_{x\in X}g_{1}(x)=sup_{x\in F}f_{1}(x)=1$

Nếu miền xác định của $g_{1}$ bao gồm hoặc 0 hoặc 1 khi đó $g=h^{-1}\circ g_{1}$ là hàm như ta mong đợi.

Nếu có trường hợp xảy ra như sau: miền xác định của $g_{1}$ bao gồm cả 0 và 1. Trong trường hợp này lấy $C=g_{1}^{-1}({0,1})$.Chú ý rằng C giao F bằng trống.Theo bổ đề Urysohn, có một hàm liên tục $k:\,X\longrightarrow [0,1]$ sao cho $k/_{C}=0$,$k/_{F}=1$. Lấy $g_{2}=kg_{1}+(1-k){\frac {1}{2}}$. Khi đó $g_{1}/_{F}=g_{2}/_{F}$ và miền xác định của $g_{2}$ là tập con của $(0,1)$, khi đó $g=h^{-1}\circ g_{2}$ là hàm như ta mong đợi.

b) Nếu f bị chặn dưới khi đó tương tự như trường hợp trước chúng ta có thể sử dụng phép đồng phôi $h:\,[a,\infty )\longrightarrow [0,1)$, và chúng ta đặt $C=g_{1}^{-1}(\{1\}$

Trường hợp f bị chặn trên là tương tự