Đa thức Legendre

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm

Trong toán học, các hàm Legendre là các hàm số thỏa mãn phương trình vi phân Legendre:

{d \over dx} \left[ (1-x^2) {d \over dx} P(x) \right] + n(n+1)P(x) = 0.

Phương trình vi phân này được đặt tên theo nhà toán học Pháp Adrien-Marie Legendre, và thường hay gặp trong vật lý học hay các ngành kỹ thuật. Đặc biệt, nó xuất hiện trong việc giải phương trình Laplace trong hệ tọa độ cầu.

Nghiệm của phương trình tồn tại khi |x| < 1. Tại x = ± 1 giá trị của nghiệm sẽ hữu hạn nếu nsố nguyên không âm, n = 0, 1, 2,.... Trong trường hợp này, các nghiệm tạo thành dãy đa thức của các đa thức trực giao gọi là đa thức Legendre.

Một đa thức Legendre thường được ký hiệu là Pn(x) và là một đa thức bậc n. Các đa thức này có thể được biểu diễn bằng công thức Rodrigues:

P_n(x) = (2^n n!)^{-1} {d^n \over dx^n } \left[ (x^2 -1)^n \right].

Ví dụ[sửa | sửa mã nguồn]

Một vài đa thức Legendre bậc nhỏ:

n P_n(x)\,
0 1\,
1 x\,
2 \begin{matrix}\frac12\end{matrix} (3x^2-1) \,
3 \begin{matrix}\frac12\end{matrix} (5x^3-3x) \,
4 \begin{matrix}\frac18\end{matrix} (35x^4-30x^2+3)\,
5 \begin{matrix}\frac18\end{matrix} (63x^5-70x^3+15x)\,
6 \begin{matrix}\frac1{16}\end{matrix} (231x^6-315x^4+105x^2-5)\,

Đồ thị của các đa thức này (đến bậc n = 10) được vẽ bên dưới:

Da thuc Legendre.png

Tính chất[sửa | sửa mã nguồn]

Tính trực giao[sửa | sửa mã nguồn]

Các đa thức Legendre là trực giao với tích trong L2 trong khoảng −1 ≤ x ≤ 1:

\int_{-1}^{1} P_m(x) P_n(x)\,dx = {2 \over {2n + 1}} \delta_{mn}

với δmnhàm delta Kronecker, bằng 1 nếu m = n và 0 nếu mn.

Lý do của tính trực giao là phương trình vi phân Legendre có thể coi là một bài toán Sturm–Liouville

{d \over dx} \left[ (1-x^2) {d \over dx}  \right]P(x) = -\lambda P(x),

với các trị riêng λ tương ứng với n(n+1).

Tính đối xứng[sửa | sửa mã nguồn]

Các đa thức Legendre thỏa mãn

P_n(-x) = (-1)^n P_n(x). \,

Chuẩn hóa[sửa | sửa mã nguồn]

Khi chuẩn hóa, giá trị của đa thức Legendre tại 1 là:

P_n(1) = 1 \,

và, theo tính đối xứng ở trên, tại -1 là:

P_n(-1) = (-1)^{n} \,

Tại 0:

P_n(0) = 0 \,

nếu nsố nguyên lẻ.

Giá trị đạo hàm tại 1 là:

P_n'(1) = \frac{n(n+1)}{2} \,

Đệ quy[sửa | sửa mã nguồn]

Đa thức Legendre thỏa mãn các liên hệ đệ quy:

 (n+1) P_{n+1} = (2n+1) x P_n - n P_{n-1}

{x^2-1 \over n} {d \over dx} P_n = xP_n - P_{n-1}.

(2n+1) P_n = {d \over dx} \left[ P_{n+1} - P_{n-1} \right].

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]