Bất đẳng thức Hölder

Trong giải tích toán học, bất đẳng thức Hölder, đặt theo tên nhà toán học Đức Otto Hölder, là một bất đẳng thức cơ bản liên quan đến các không gian L^p: giả sử S là một không gian đo, với 1 ≤ p, q ≤ ∞ thỏa 1/p + 1/q = 1, đồng thời f thuộc L^p(S) và g thuộc L^q(S). Khi đó fg thuộc L¹(S) và

$\|fg\|_{1}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}.$

Các số p và q nói trên được gọi là liên hợp Holder của lẫn nhau.

Bất đẳng thức Holder được dùng để chứng minh bất đẳng thức tam giác tổng quát trong không gian L^p, bất đẳng thức Minkowski và cũng dùng để chứng minh L^p là đối ngẫu với L^q.

Các trường hợp đặc biệt đáng chú ý

• Với p = q = 2 bất đẳng thức Holder trở thành bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.
• Trong trường hợp không gian Euclide, khi tập S là {1,...,n} với một độ đo kiểu đếm, chúng ta có kết quả là với mọi x, y trong Rⁿ (Cⁿ)

$\sum _{k=1}^{n}|x_{k}y_{k}|\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{1/p}\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{q}\right)^{1/q}$

• Nếu S=N với một độ đo kiểu đếm, khi đó chúng ta có được bất đẳng thức Holder cho các dãy từ không gian lp

$\sum \limits _{n=1}^{\infty }|x_{n}\cdot y_{n}|\leq \left(\sum \limits _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}\cdot \left(\sum \limits _{n=1}^{\infty }|y_{n}|^{q}\right)^{1/q},\;\forall x\in l^{p},y\in l^{q}$.

• Trong trường hợp không gian của các hàm giá trị phức khả tích, chúng ta có

$\left|\int f(x)g(x)\,dx\right|\leq \left(\int \left|f(x)\right|^{p}\,dx\right)^{1/p}\cdot \left(\int \left|g(x)\right|^{q}\,dx\right)^{1/q}.$

• Dạng đại số thường gặp trong chứng minh bất đẳng thức của bất đẳng thức Holder

$\coprod _{i=1}^{m}{\biggl (}\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}{\biggr )}\geq {\biggl (}\sum _{j=1}^{n}{\sqrt[{m}]{\prod _{i=1}^{m}a_{i,j}}}{\biggr )}^{m}$

• Trong trường hợp không gian xác suất $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$, $L^{p}(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ là các ký hiệu để chỉ không gian của các biến ngẫu nhiên với moment p hữu hạn,

$\mathbb {E} \left[|X|^{p}\right]<\infty$, trong đó $\mathbb {E}$ là ký hiệu chỉ giá trị kỳ vọng. Bất đẳng thức Holder trở thành

$\mathbb {E} |XY|\leq \left(\mathbb {E} |X|^{p}\right)^{1/p}\cdot \left(\mathbb {E} |Y|^{q}\right)^{1/q},\;\forall X\in L^{p},Y\in L^{q}$.

Trường hợp tổng quát

Có thể chứng minh trường hợp tổng quát sau bằng phương pháp quy nạp

Giả sử $p_{k}\geq 1,k=1,\ldots n$ sao cho

$\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{p_{k}}}=1$

Giả sử $u_{k}\in L^{p_{k}}(S)$. Khi đó ta có $\prod _{k=1}^{n}u_{k}\in L^{1}(S)$ và

$\left\|\prod _{k=1}^{n}u_{k}\right\|_{\displaystyle L^{1}(S)}\leq \prod _{k=1}^{n}\|u_{k}\|_{\displaystyle L^{p_{k}}(S)}$

Tham khảo

• Kuttler, Kenneth (2007), An introduction to linear algebra (PDF), Brigham Young University.