Bất đẳng thức Cauchy–Schwarz

Trong đại số và giải tích, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz (cũng gọi là bất đẳng thức Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz)^[1]^[2]^[3]^[4] phát biểu rằng trị tuyệt đối của tích vô hướng của hai vector luôn nhỏ hơn hoặc bằng tích độ dài của hai vector đó. Bất đẳng thức này được coi là một trong những bất đẳng thức quan trọng và xuất hiện thường xuyên trong toán học.^[5]

Bất đẳng thức này phát biểu rằng nếu x và y là các phần tử của không gian tích trong thực hay phức thì

|\langle x,y\rangle |^{2}\leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle .

Dấu đẳng thức xảy khi và chỉ khi x và y phụ thuộc tuyến tính (hay nói theo ý nghĩa hình học là chúng song song với nhau). Một trường hợp đặc biệt nữa của x và y là khi chúng trực giao (hay nói theo ý nghĩa hình học là vuông góc) nhau thì tích trong của chúng bằng 0.

Như vậy, có vẻ như bất đẳng thức này cho thấy có mối liên quan giữa khái niệm "góc của hai vector" với khái niệm tích trong, mặc dầu các khái niệm của hình học Euclide có thể không còn mang đầy đủ ý nghĩa trong trường hợp này, và ở mức độ nào đấy, nó cho thấy ý niệm các không gian tích trong là một sự tổng quát hoá của không gian Euclide.

Một hệ quả quan trọng của bất đẳng thức Cauchy – Schwarz: tích trong là một hàm liên tục.

Một dạng khác của bất đẳng thức Cauchy – Schwarz được phát biểu dưới đây bằng cách dùng ký hiệu chuẩn, với chuẩn ở đây được hiểu là chuẩn trên không gian định chuẩn

|\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\cdot \|y\|.\,

Năm 1821, Cauchy chứng minh bất đẳng thức này trong trường hợp các vector thực và hữu hạn chiều và đến năm 1859, học trò của Cauchy là Bunyakovsky nhận xét rằng khi chúng ta lấy giới hạn chúng ta có thể thu được dạng tích phân của bất đẳng thức này. Kết quả tổng quát trong trường hợp không gian tích trong được chứng minh bởi Schwarz vào năm 1888.

Chứng minh

Bất đẳng thức này rõ ràng đúng với y = 0, vì thế ta có thể giả sử <x, y> khác 0. Giả sử $\lambda$ là một số phức bất kỳ. Khi đó, chúng ta có bất đẳng thức chắc chắn đúng như sau:

0\leq \left\|x-\lambda y\right\|^{2}=\langle x-\lambda y,x-\lambda y\rangle =\langle x,x\rangle -\lambda \langle x,y\rangle -{\bar {\lambda }}\langle y,x\rangle +|\lambda |^{2}\langle y,y\rangle .

Chọn

\lambda =\langle y,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle ^{-1}

chúng ta được

0\leq \langle x,x\rangle -|\langle x,y\rangle |^{2}\cdot \langle y,y\rangle ^{-1}

mà bất đẳng thức trên đúng khi và chỉ khi

|\langle x,y\rangle |^{2}\leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle

hay tương đương:

{\big |}\langle x,y\rangle {\big |}\leq \left\|x\right\|\left\|y\right\|.

(điều phải chứng minh)

Một số trường hợp đặc biệt đáng chú ý

Trong trường hợp không gian Euclide Rⁿ, bất đẳng thức này trở thành

\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}\right)

. Đặc biệt hơn, trong không gian Euclide với số chiều bằng 2 hay 3, nếu tích vô hướng được xác định theo góc giữa hai vector, khi đó bất đẳng thức này trở thành một bất đẳng thức dễ dàng chứng minh:

|\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} |=|\mathbf {x} ||\mathbf {y} ||\cos \theta |\leq |\mathbf {x} ||\mathbf {y} |

. Hơn nữa, trong trường hợp này, bất đẳng thức Cauchy – Schwarz có thể suy ra từ đồng nhất thức Lagrange bằng cách bỏ qua một số hạng. Trong trường hợp số chiều n = 3, đồng nhất thức Lagrange có dạng:

\langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle =|\langle x,y\rangle |^{2}+|x\times y|^{2}.

Hệ quả của bất đẳng thức này là bất đẳng thức

Trong không gian tích trong của các hàm giá trị phức khả tích-bình phương, chúng ta có

\left|\int f(x)g(x)\,dx\right|^{2}\leq \int \left|f(x)\right|^{2}\,dx\cdot \int \left|g(x)\right|^{2}\,dx.

Một dạng tổng quát của hai bất đẳng thức ở phần này là bất đẳng thức Holder.

Một hệ quả khác, đó là bất đẳng thức Schwarz hay cũng được nhiều tài liệu gọi là bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng Engel ${\frac {(a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1}+a_{n})^{2}}{b_{1}+b_{2}+..+b_{n-1}+b_{n}}}\leq {\frac {a_{1}^{2}}{b_{1}}}+{\frac {a_{2}^{2}}{b_{2}}}+...+{\frac {a_{n-1}^{2}}{b_{n-1}}}+{\frac {a_{n}^{2}}{b_{n}}}$

Một vài ứng dụng

Bất đẳng thức tam giác cho tích trong thường được xem là một hệ quả của bất đẳng thức Cauchy – Schwarz như sau: cho các vector x và y,

$\\|x+y\\|^{2}$	$=\langle x+y,x+y\rangle$
	$=\\|x\\|^{2}+\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\\|y\\|$
	$\leq \\|x\\|^{2}+2\|\langle x,y\rangle \|+\\|y\\|^{2}$
	$\leq \\|x\\|^{2}+2\\|x\\|\\|y\\|+\\|y\\|^{2}$
	$\leq \left(\\|x\\|+\\|y\\|\right)^{2}$

Lấy căn bậc hai hai vế ta được bất đẳng thức tam giác.

Một số dạng cơ bản

Bất đẳng thức Bunyakovsky dạng thông thường

(a² + b²)(c² + d²) ≥ (ac + bd)²
Chứng minh:

(a² + b²)(c² + d²) ≥ (ac + bd)² ⇔ (ac)² + (ad)² + (bc)² + (bd)² ≥ (ac)² + 2abcd + (bd)² ⇔ (ad)² + (bc)² ≥ 2abcd ⇔ (ad)² – 2abcd + (bc)² ≥ 0 ⇔ (ad – bc)² ≥ 0

Dấu " = " xảy ra khi ${\frac {a}{c}}={\frac {b}{d}}$ hay ${a \over b}={c \over d}$

Để dễ dàng chứng minh ta thường đưa về dạng hai vecto có tọa độ trong mặt phẳng Oxy rồi áp dụng công thức như trên.

Bất đẳng thức Bunyakovsky cho 2 bộ số

Với hai bộ số $(a_{1};a_{2};...;a_{n})$ và ${\textstyle (b_{1};b_{2};...;b_{n})}$ ta có:

$\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2}\right)\left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+...+b_{n}^{2}\right)\geq \left(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n}\right)^{2}$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi ${\frac {a_{1}}{b_{1}}}={\frac {a_{2}}{b_{2}}}=...={\frac {a_{n}}{b_{n}}}$ với quy ước nếu một số $b_{i}$ nào đó (i = 1, 2, 3,..., n) bằng 0 thì $a_{i}$ tương ứng bằng 0.

Tham khảo

^ O'Connor, J.J.; Robertson, E.F. “Hermann Amandus Schwarz”. University of St Andrews, Scotland.
^ Bityutskov, V. I. (2001), “Bunyakovskii inequality”, trong Hazewinkel, Michiel (biên tập), Bách khoa toàn thư Toán học, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
^ Ćurgus, Branko. “Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz inequality”. Department of Mathematics. Western Washington University.
^ Joyce, David E. “Cauchy's inequality” (PDF). Department of Mathematics and Computer Science. Clark University. Lưu trữ (PDF) bản gốc ngày 9 tháng 10 năm 2022.
^ Steele, J. Michael (2004). The Cauchy–Schwarz Master Class: an Introduction to the Art of Mathematical Inequalities. The Mathematical Association of America. tr. 1. ISBN 978-0521546775. ...there is no doubt that this is one of the most widely used and most important inequalities in all of mathematics.

[1] O'Connor, J.J.; Robertson, E.F. “Hermann Amandus Schwarz”. University of St Andrews, Scotland.

[EncyclopediaOfMath-2] Bityutskov, V. I. (2001), “Bunyakovskii inequality”, trong Hazewinkel, Michiel (biên tập), Bách khoa toàn thư Toán học, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4

[3] Ćurgus, Branko. “Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz inequality”. Department of Mathematics. Western Washington University.

[4] Joyce, David E. “Cauchy's inequality” (PDF). Department of Mathematics and Computer Science. Clark University. Lưu trữ (PDF) bản gốc ngày 9 tháng 10 năm 2022.

[Steele-5] Steele, J. Michael (2004). The Cauchy–Schwarz Master Class: an Introduction to the Art of Mathematical Inequalities. The Mathematical Association of America. tr. 1. ISBN 978-0521546775. ...there is no doubt that this is one of the most widely used and most important inequalities in all of mathematics.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

$\\|x+y\\|^{2}$	$=\langle x+y,x+y\rangle$
	$=\\|x\\|^{2}+\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\\|y\\|$
	$\leq \\|x\\|^{2}+2\|\langle x,y\rangle \|+\\|y\\|^{2}$
	$\leq \\|x\\|^{2}+2\\|x\\|\\|y\\|+\\|y\\|^{2}$
	$\leq \left(\\|x\\|+\\|y\\|\right)^{2}$