Biểu thị tự do

Trong đại số, một biểu thị tự do của một mô-đun M trên một vành giao hoán R là một dãy khớp các R-mô-đun:

$\bigoplus _{i\in I}R{\overset {f}{\to }}\bigoplus _{j\in J}R{\overset {g}{\to }}M\to 0.$

Lưu ý rằng ảnh qua g của một cơ sở chính tắc của $\oplus _{j\in J}R$ sinh $M$. Nếu $J$ là hữu hạn thì $M$ là một mô-đun hữu hạn sinh. Nếu $I$ và $J$ cùng là các tập hữu hạn thì biểu thị được gọi là một biểu thị hữu hạn.

Một biểu thị tự do luôn tồn tại: bất kỳ mô-đun nào đều là thương của một mô-đun tự do: $F{\overset {g}{\to }}M\to 0$; hạch của g lại là thương của một mô-đun tự do: $F'{\overset {f}{\to }}\ker g\to 0$. Nối hai dãy khớp này ta thu được một biểu thị tự do của $M$. Nếu ta tiếp tục quá trình trên, ta sẽ thu được một phân giải tự do của $M$. Một biểu thị tự do, do đó, là một đoạn đầu ngắn của chuỗi phân giải tự do.

Xem thêm

• Mô đun nhất quán
• Bó tựa nhất quán

Tham khảo

• Eisenbud, David, Đại số giao hoán với quan điểm hướng tới hình học đại số, Giáo trình cao học toán học, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8.