Bất đẳng thức Erdos-Mordell

Trong hình học phẳng, Bất đẳng thức Erdős–Mordell phát biểu rằng cho tam giác ABC bất kỳ và điểm P trong tam giác ABC, khi đó tổng khoảng cách từ điểm P đến ba đỉnh tam giác sẽ lớn hơn hai lần tổng khoảng cách từ điểm này đến ba cạnh tam giác. Bất đẳng thức này đặt tên theo Paul Erdős và Louis Mordell. Erdős (1935) đề xuất vấn đề; một chứng minh đưa ra bởi Mordell hai năm sau đó Mordell và D. F. Barrow (1937). Chứng minh đưa ra bởi Mordell là không sơ cấp. Sau đó rất nhiều chứng minh sơ cấp, đơn giản được đưa ra bởi Kazarinoff (1957), Bankoff (1958), và Alsina & Nelsen (2007).

Bất đẳng thức Barrow là một phiên bản mạnh của bất đẳng thức Erdős–Mordell phát biểu rằng tổng khoảng cách từ điểm P đến ba đỉnh tam giác ABC lớn hơn hai lần tổng các đường phân giác trong của các góc ∠APB, ∠BPC, và ∠CPA.

Phát biểu

Bất đẳng thức Erdős–Mordell

Cho tam giác ABC, MLN là tam giác hình chiếu của P nên ba cạnh tam giác ABC khi đó:

$PA+PB+PC\geq 2(PL+PM+PN)$

Một phiên bản mạnh khác

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và P là điểm nằm trong tam giác ABC. Gọi D, E, F là hình chiếu của P xuống ba cạnh BC, CA, AB. Và M, N, Q là hình chiếu của P lên các tiếp tuyến của (O) tại A, B, C, thì:

$PM+PN+PQ\geq 2(PD+PE+PF)$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều (Dao, Nguyen & Pham 2016; Marinescu & Monea 2017)

Tổng quát

Cho đa giác lồi $A_{1}A_{2}...A_{n}$, và $P$ là điểm trong đa giác $A_{1}A_{2}...A_{n}$. Gọi $R_{i}$ là khoảng cách từ $P$ tới đỉnh $A_{i}$, $r_{i}$ là độ dài đoạn thẳng phân giác góc $\angle A_{i}PA_{i+1}$ tính từ điểm P giao với cạnh $A_{i}A_{i+1}$ và $r_{i}$ là khoảng từ $P$ tới hình chiếu của P trên cạnh $A_{i}A_{i+1}$, thì (Lenhard 1961)

$\sum _{i=1}^{n}R_{i}\geq \left(\sec {\frac {\pi }{n}}\right)\sum _{i=1}^{n}r_{i}$

Xem thêm

• Danh sách bất đẳng thức tam giác

Tham khảo

• Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2007), “A visual proof of the Erdős-Mordell inequality”, Forum Geometricorum, 7: 99–102.
• Bankoff, Leon (1958), “An elementary proof of the Erdős-Mordell theorem”, American Mathematical Monthly, 65 (7): 521, doi:10.2307/2308580, JSTOR 2308580.
• Dao, Thanh Oai; Nguyen, Tien Dung; Pham, Ngoc Mai (2016), “A strengthened version of the Erdős-Mordell inequality” (PDF), Forum Geometricorum, 16: 317–321, MR 3556993.
• Erdős, Paul (1935), “Problem 3740”, American Mathematical Monthly, 42: 396, doi:10.2307/2301373.
• Kazarinoff, D. K. (1957), “A simple proof of the Erdős-Mordell inequality for triangles”, Michigan Mathematical Journal, 4 (2): 97–98, doi:10.1307/mmj/1028988998.
• Lenhard, Hans-Christof (1961), “Verallgemeinerung und Verschärfung der Erdös-Mordellschen Ungleichung für Polygone”, Archiv für Mathematische Logik und Grundlagenforschung, 12: 311–314, doi:10.1007/BF01650566, MR 0133060.
• Marinescu, Dan Ștefan; Monea, Mihai (2017), “About a strengthened version of the Erdős-Mordell inequality” (PDF), Forum Geometricorum, 17: 197–202.
• Mordell, L. J.; Barrow, D. F. (1937), “Solution to 3740”, American Mathematical Monthly, 44: 252–254, doi:10.2307/2300713.

Liên kết ngoài

• Weisstein, Eric W., "Erdős-Mordell Theorem", MathWorld.
• Alexander Bogomolny, "Erdös-Mordell Inequality", from Cut-the-Knot.