Hàm truyền

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Jump to navigation Jump to search

Trong kỹ thuật, một hàm truyền (còn được gọi là các hàm hệ thống[1] hoặc hàm mạng lưới và khi vẽ như là một đồ thị, đường cong truyền đạt) là một mô  tả toán học phù hợphoặc để mô tả các đầu vào và đầu ra của các mô hình hộp đen.

Thông thường nó là một mô tả về không gian hoặc thời gian của tần số, mối quan hệ giữa đầu vào và đầu ra của một hệ thống tuyến tính thời gian bất biến (LTI) với các điều kiện zero ban đầu và trạng thái cân bằng điểm không.[2] Với các thiết bị hình ảnh quang học, ví dụ, nó là biến đổi Fourier của hàm rải điểm (vì thế một hàm của tần số không gian) tức là, sự phân bố cường độ gây ra bởi một vật điểm trong thị trường (khu vực mắt nhìn thấy).[citation needed] Một số nguồn tuy nhiên sử dụng "hàm truyền" có nghĩa là một số đặc tính đầu vào-đầu ra theo các đại lượng đo lường vật lý (ví dụ, điện áp đầu ra như là một hàm của điện áp đầu vào của một mạng hai cửa) chứ không phải biến đổi của nó trong mặt phẳng s.[3][4][5]

Các hệ thống LTI[sửa | sửa mã nguồn]

Hàm truyền thường được sử dụng trong phân tích các hệ thống như các bộ lọc một đầu vào-một đầu ra, điển hình là trong các lĩnh vực xử lý tín hiệu, lý thuyết truyền thông, và lý thuyết điều khiển. Thuật ngữ này thường được sử dụng đặc biệt đối với các hệ thống tuyến tính, thời gian bất biến(LTI), như được đề cập trong bài viết này. Hầu hết các hệ thống thực có các đặc điểm đầu vào / đầu ra phi tuyến, nhưng nhiều hệ thống, khi hoạt động với các thông số danh nghĩa (không phải "quá mức") có hành vi đủ gần tuyến tính mà lý thuyết hệ thống LTIlà một đại diện chấp nhận được của hành vi đầu vào / đầu ra.

Các mô tả dưới đây được đưa ra trong trường hợp của biến phức, s = σ + j * ω, giúp giải thích ngắn gọn. Trong nhiều ứng dụng, chỉ cần định nghĩa σ = 0 (và s = ​​j * ω), là đủ làm giảm các biến đổi Laplacevới các argument phức thành biến đổi Fourier với argument thực ω. Các ứng dụng mà điều này là phổ biến là những ứng dụng chỉ sự quan tâm đến các phản ứng trạng thái ổn định của một hệ thống LTI, không phải là hành vi bật và tắt thoáng qua hoặc vấn đề ổn định. Đó thường là trường hợp củaxử lý tín hiệulý thuyết truyền thông.

Do đó, đối với tín hiệu đầu vào  và đầu ra  trong thời gian liên tục, hàm truyền  là ánh xạ tuyến tính của biến đổi Laplace của đầu vào, , với biến đổi Laplace của đầu ra :

hoặc

.

Trong các hệ thống thời gian rời rạc, quan hệ giữa một tín hiệu đầu vào  và đầu ra  phải sử dụng biến đổi z, và khi hàm truyền được viết tương tự như  và thường sử dụng hàm truyền xung. [citation needed]

Dẫn xuất trực tiếp từ phương trình vi phân[sửa | sửa mã nguồn]

Hãy xem xét một phương trình vi phân tuyến tính với hệ số không đổi

trong đó u và r những hàm theo t, và L là toán tử được xác định trên không gian hàm biến đổi u sang r. Loại phương trình này có thể được sử dụng để hạn chế hàm đầu ra u trong điều kiện của hàm ràng buộc r. Hàm truyền, được viết dưới toán tử , là nghịch đảo bên phải của L, do đó.

Phương trình vi phân hệ số không đổi, đồng nhất  có thể được giải bằng cách thay . Từ đó ta có được đa thức đặc trưng

Trường hợp không đồng nhất có thể được giải dễ dàng nếu hàm đầu vào r cũng có dạng. Trong trường hợp này, bằng cách đặt  ta sẽ thấy   nếu và chỉ nếu

Định nghĩa trên của hàm truyền yêu cầu phân biệt rõ ràng giữa các giá trị thực và giá trị phức, vốn trước nay chịu ảnh hưởng bởi việc giải thích của abs(H(s)) là độ lợi và -atan(H(s)) là độ lệch pha. Các định nghĩa khác của hàm truyền cũng được sử dụng: ví dụ [6]

Xử lý tín hiệu[sửa | sửa mã nguồn]

Cho  là đầu vào của một hệ thống tuyến tính thời gian bất biến tổng quát, và  là đầu ra, và biến đổi Laplace song phương của và  là

Thì đầu ra sẽ tương ứng với đầu vào bởi hàm truyền  như sau

và hàm truyền tự nó sẽ là

Đặc biệt, nếu một tín hiệu hài phức với một thành phần hình sin với biên độ , tần số góc  và pha , trong đó arg là argument.

với 

là đầu vào cho một hệ thống tuyến tính thời gian bất biến, thì thành phần tương ứng ở đầu ra là:

Chú ý là, trong một hệ thống tuyến tính thời gian bất biến, tần số đầu vào  không thay đổi, chỉ biên độ thay đổi và góc pha dạng hình sinh thay đổi bởi hệ thống. Đáp ứng tần số   miêu tả sự thay đổi này đối với mỗi tần số   với độ lợi:

độ dịch chuyển pha:

Đỗtrễ pha (tức là, số lượng phụ thuộc tần số của độ trễ theo hình sin bởi hàm truyền) là:

Độ trể nhóm (tức là, số lượng phụ thuộc ts của độ trễ theo đường bao hình sin bởi hàm truyền) được tìm ra bằng cách tính đạo hàm của dịch chuyển pha đối với tần số góc với ,

Hàm truyền cũng có thể được thể hiện bằng cách sử dụng biến đổi Fourier là một trường hợp đặc biệt của biến đổi Laplace song phương cho trường hợp .

Các họ hàm truyền phổ biến[sửa | sửa mã nguồn]

Trong khi bất kỳ hệ thống LTI nào cũng có thể được mô tả bởi một số hàm truyền này hay khác, có một số "họ" các hàm truyền đặc biệt được sử dụng phổ biến. Các bộ lọc đáp ứng xung vô hạn điển hình được thiết kế để thực hiện một trong những hàm truyền đặc biệt.

Một số họ hàm truyền phổ biến và đặc điểm cụ thể của chúng là:

  • Bộ lọc Butterworth – làm phẳng tối đa trong dải thông và dãi dừng với bậc cho trước
  • Bộ lọc Chebyshev (loại I) - làm phẳng tối đa trong dãi dừng, cắt sắc nét hơn Butterworth của cùng một bậc
  • Bộ lọc Chebyshev (Loại II) – làm phẳng cực đại trong dãi thông, cắt sắc nét hơn Butterworth với cùng bậc
  • Bộ lọc Bessel – đáp ứng xung tốt nhất cho một bậc cho trước bởi vì chúng không có gợn trễ nhóm
  • Bộ lọc Elliptic - cắt sắc nét nhất (chuyển tiếp hẹp nhất giữa dãi thông và dãi dừng) với bậc cho trước
  • Bộ lọc "L" tối ưu
  • Bộ lọc Gauss – độ trễ nhóm tối thiểu; không có độ vọt lố đối với hàm bước.
  • Bộ lọc Hourglass 
  • Bộ lọc cos tăng

Kỹ thuật điều khiển[sửa | sửa mã nguồn]

Trong kỹ thuật điều khiểnlý thuyết điều khiển các hàm truyền sử dụng biến đổi Laplace.

Hàm truyền là công cụ chính được sử dụng trong kỹ thuật điều khiển cổ điển. Tuy nhiên, nó đã được chứng minh là khó sử dụng cho việc phân tích các hệ thống nhiều đầu vào nhiều đầu ra (MIMO), và phần lớn đã bị thay thế bởi không gian trạng tháiđại diện cho các hệ thống như vậy. Mặc dù vậy, một ma trận truyền có thể luôn luôn thu được đối với bất kỳ hệ thống tuyến tính nào, để phân tích đặc tính động học các đặc tính khác của nó: mỗi phần tử của một ma trận truyền là một hàm truyền liên quan một biến đầu vào cụ thể tới một biến đầu ra.

Một thể hiện hữu hiệu cầu nối giữa không gian trạng tháivà phương pháp hàm truyền đã được đề xuất bởi Howard H. Rosenbrockvà nó được gọi là ma trận hệ thống Rosenbrock.

Quang học[sửa | sửa mã nguồn]

Trong quang học, hàm chuyển điều biến thể hiện khả năng truyền tải phản quang.

Ví dụ, khi quan sát một loạt các tua ánh sáng màu đen-trắng được vẽ với một tần số không gian cụ thể, chất lượng hình ảnh có thể bị suy giảm. Các rìa trắng mờ dần trong khi những rìa màu đen trở nên sáng hơn.

The modulation transfer function in a specific spatial frequency is defined by:

Trong đó điều biến (M) được tính toán từ các hình ảnh sau đây hoặc độ sáng ánh sáng:

Các hệ thống phi tuyến[sửa | sửa mã nguồn]

Các hàm truyền tồn tại không đúng cách  trong nhiều thành phần phi tuyến (ví dụ, chúng không tồn tại đối với các máy dao động tích thoát,[7] Tuy nhiên một xấp xỉ gọi là hàm mô tảcó thể đôi khi (nhưng không phải luôn luôn) được sử dụng để thay thế.

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ Bernd Girod, Rudolf Rabenstein, Alexander Stenger, Signals and systems, 2nd ed., Wiley, 2001, ISBN 0-471-98800-6 p. 50
  2. ^ The Oxford Dictionary of English, 3rd ed., "Transfer function"
  3. ^ M. A. Laughton; D.F. Warne. Electrical Engineer's Reference Book (ấn bản 16). Newnes. tr. 14/9–14/10. ISBN 978-0-08-052354-5. 
  4. ^ E. A. Parr (1993). Logic Designer's Handbook: Circuits and Systems (ấn bản 2). Newness. tr. 65–66. ISBN 978-1-4832-9280-9. 
  5. ^ Ian Sinclair; John Dunton (2007). Electronic and Electrical Servicing: Consumer and Commercial Electronics. Routledge. tr. 172. ISBN 978-0-7506-6988-7. 
  6. ^ Birkhoff, Garrett; Rota, Gian-Carlo (1978). Ordinary differential equations. New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-05224-8. 
  7. ^ Valentijn De Smedt, Georges Gielen and Wim Dehaene (2015). Temperature- and Supply Voltage-Independent Time References for Wireless Sensor Networks. Springer. tr. 47. ISBN 978-3-319-09003-0. 

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]