Ký hiệu Jacobi

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới điều hướng Bước tới tìm kiếm

Ký hiệu Jacobi là tổng quát hóa của ký hiệu Legendre. Nó được sử dụng trong lý thuyết số và được đặt theo tên nhà toán học Carl Gustav Jakob Jacobi.

Định nghĩa[sửa | sửa mã nguồn]

Ký hiệu Jacobi sử dụng dạng phân tích tiêu chuẩn của số đứng dưới. Nó được định nghĩa như sau:

Giả sử n > 0 là số tự nhiên lẻ và là dạng phân tích tiêu chuẩn của n.

Với số nguyên a bất kỳ, ký hiệu Jacobi trong đó tất cả các ký hiệu bên vế phải là Ký hiệu Legendre.

Các tính chất của ký hiệu Jacobi[sửa | sửa mã nguồn]

Các tính chất sau thường dùng để tính nhanh ký hiệu Jacobi:

  1. Nếu nsố nguyên tố thì ký hiệu Jacobi là ký hiệu Legendre.
  2. nếu
  3. . Điều này dẫn tới là 0 hoặc 1 với số nguyên a bất kỳ và số tự nhiên lẻ n bất kỳ.
  4. Nếu ab (mod n), thì
  5. nếu m vàd n là các số tự nhiên lẻ.

Tính chất sau cùng thường được biết với tên giống như trong ký hiệu Legendre: luật thuận nghịch bình phương.

Lưu ý[sửa | sửa mã nguồn]

Có hai tính chất đúng với ký hiệu Legendre nhưng không thể mở rộng cho ký hiệu Jacobi.

Thứ nhất, nếu thì a không là thặng dư bậc hai của na không là thặng dư bậc hai của một số thừa số của n. Tuy nhiên, ngược lại khi a chưa chắc chắn là thặng dư bậc hai của n. Bởi vì ký hiệu Jacobi là tích của các ký hiệu Legendre, nên có thể có hai ký hiệu Legendre bằng −1 và khi đó ký hiệu Jacobi bằng 1.

Tính chất thứ hai không thể mở rộng gắn với đồng dư thức Euler mod p với số nguyên tố p và số nguyên a bất kỳ. Một cách tự nhiên đồng dư thức Euler mở rộng từ ký hiệu Legendre sang ký hiệu Jacobi là: mod n với hợp số lẻ dương n. Tuy nhiên đồng dư thức này là sai với ít nhất một nửa của các a mod n khi n là hợp số. Tỷ lệ này là cơ sở của thuật toán kiểm tra Solovay-Strassen kiểm tra tính nguyên tố theo xác suất.

Ví dụ[sửa | sửa mã nguồn]

Vì 331 là số nguyên tố nên từ đó 37035 là thặng dư bậc hai mod 331.

Các hàm liên quan[sửa | sửa mã nguồn]

  • Ký hiệu Kronecker là tổng quát hóa của ký hiệu Jacobi cho tất cả các số nguyên.

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]