Định lý cơ bản của số học

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm

Định lý cơ bản của số học nói về sự phân tích duy nhất một số tự nhiên thành tích các thừa số nguyên tố.

Phát biểu của định lý - Dạng phân tích tiêu chuẩn của số tự nhiên[sửa | sửa mã nguồn]

Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 có thể viết một cách duy nhất (không kể sự sai khác về thứ tự các thừa số) thành tích các thừa số nguyên tố. Mọi số tự nhiên n lớn hơn 1, có thể viết duy nhất dưới dạng:

n={p_1}^{\alpha_1}{p_2}^{\alpha_2} {\dots} {p_k}^{\alpha_k}

trong đó {p_1},{p_2}, ,{\dots}, {p_k} là các số nguyên tố và \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_k là các số tự nhiên dương. Tuy nhiên do tính giao hoán của phép nhân các số tự nhiên, tính duy nhất bỏ qua các sai khác về thứ tự các thừa số. Vế phải của đẳng thức này được gọi là dạng phân tích tiêu chuẩn của n.

Chẳng hạn

6936 = 2^3 \times 3 \times 17^2 , \,\!
1200 = 2^4 \times 3 \times 5^2 . \,\!

Lịch sử[sửa | sửa mã nguồn]

Người ta cho rằng định lý được Euclid chứng minh, tuy nhiên nó được trình bày đầy đủ lần đầu tiên trong Disquisitiones Arithmeticae bởi Carl Friedrich Gauss.

Chứng minh của Euclid[sửa | sửa mã nguồn]

Chứng minh gồm hai phần. Phần một chứng minh mọi số có thể viết dưới dạng tích của một hoặc nhiều số nguyên tố. Phần thứ hai chứng tỏ rằng biểu diễn đó là duy nhất.

Phân tích các số[sửa | sửa mã nguồn]

Trước hết, mỗi số nguyên tố là tích của một thừa số là chính nó. Giả sử rằng có các số nguyên dương lớn hơn 1 không biểu diễn được thành tích các số nguyên tố. Khi đó gọi n là số nhỏ nhất trong các số đó. Số n này khác 1 và là hợp số. Do đó

n = ab

trong đó cả ab là các số nguyên dương nhỏ hơn n. Vì n là số nhỏ nhất không thể phân tích thành tích các số nguyên tố nên cả ab phân tích được thành tích các số nguyên tố. Nhưng khi đó

n = ab

lại phân tích được. Điều này mâu thuẫn với giả thiết.

Chứng minh cách biểu diễn là duy nhất[sửa | sửa mã nguồn]

Ta giả sử rằng tồn tại số nguyên lớn hơn 1 mà có 2 cách biểu diễn dưới dạng tích các thừa số nguyên tố. Khi đó giả sử s là số nhỏ nhất trong các số như vậy, tức là s=p_1p_2...p_m=q_1q_2...q_n với p_i, q_j là các số nguyên tố. Do p_1 chia hết q_1q_2...q_n suy ra tồn tại q_jp_1 chia hết q_j. Từ đó ta có p_i=q_j, bỏ 2 số nguyên tố ra khỏi đẳng thức ta được 2 vế là 2 khai triển khác nhau của số s chia cho p_1, mà theo giả thuyết s là số nhỏ nhất như vậy, mâu thuẩn này chứng tỏ giả thiết là sai. vậy mỗi số nguyên lớn hơn một chỉ có một biểu diễn duy nhất dưới dạng tích thừa số nguyên tố (không kể đến thứ tự các thừa số).

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]