Điểm Zeeman-Gossard

Tam giác ABC và tam giác Gossard của nó thấu xạ

Điểm Zeeman-Gossard (còn gọi là điểm Gossard ) là một điểm đặc biệt trong hình học tam giác. Tên ban đầu của điểm này là điểm Gossard được đặt tên bởi John Conway vào năm 1998 để vinh danh Harry Clinton Gossard người phát hiện ra sự tồn tại của nó vào năm 1916. Sau đó người ta phát hiện ra rằng điểm này đã xuất hiện trong một bài viết của Christopher Zeeman trong năm 1899 - 1902. Từ năm 2003 trở đi, trong bách khoa toàn thư về các tâm của tam giác đề cập đến điểm này là điểm Zeeman-Gossard.

Định nghĩa

Tam giác Zeeman-Gossard

Cho ABC là một tam giác bất kỳ trong mặt phẳng. Nếu đường thẳng Euler của tam giác ABC cắt các cạnh BC, CA và AB của tam giácABC lần lượt tại A₁, B₁ và C₁. Cho A_gB_gC_g là tam giác được tạo bởi ba đường thẳng Euler của ba tam giác AB₁C₁, BC₁A₁ và CA₁B₁. Khi đó tam giác A_gB_gC_g là tam giác Tam giác Zeeman-Gossard' của tam giác ABC. Tam giác Zeeman-Gossard của tam giác ABC có các cạnh song song với tam giác ABC và bằng tam giác ABC.

Điểm Zeeman-Gossard

Tam giác A_gB_gC_g là tam giác Gossard của tam giác ABC thì ba đường thẳng AA_g, BB_g, CC_g đồng quy tại điểm Zeeman-Gossard của tam giác ABC. Điểm Zeeman-Gossard nằm trên đường thẳng Euler của tam giác ABC.

Trong bách khoa toàn thư về các tâm của tam giác điểm này được thể hiện qua điểm X(402).

Mở rộng

Các xây dựng mở rộng tam giác Gossard của tam giác ABC có thể tổng quát thành tam giác A'B'C'  có cùng diện tích với tam giác ABC và các cạnh song song với các cạnh của tam giác ABC.

Mở rộng 1

Kết quả này đề xuất bởi Christipher Zeeman: Cho l là đường thẳng bất kỳ song song với đường thẳng Euler của tam giác ABC. Đường thẳng L cắt ba cạnh tam giác BC, CA, AB lần lượt tại X, Y, Z. Gọi A'B'C'  là tam giác tạo bởi các đường thẳng Euler của tam giác AYZ, BZX và CXY. Khi đó tam giác A'B'C'  sẽ đối xứng với tam giác ABC qua một điểm.

Mở rộng 2

Mở rộng này là của Paul Yiu. Cho P là một điểm bất kỳ trong mặt phẳng của tam giác ABC khác trọng tâm G của tam giác ABC. Đường thẳng PG cắt các cạnh BC, CA và AB lần lượt tại X, Y và Z. Gọi trọng tâm của các tam giác AYZ, BZX và CXY lần lượt là G_a, G_b and G_c. Cho P_a là một điểm sao cho YP_a song song với CP và ZP_a song song với BP. Gọi P_b là một điểm sao cho ZP_b song song với AP and XP_b song song với CP. Gọi P_c là một điểm sao cho XP_c song song với BP and YP_c song song với AP. Gọi A'B'C'  là tam giác tạo bởi các đường thẳng G_aP_a, G_bP_b và G_cP_c.

Khi đó tam giác A'B'C'  sẽ đối xứng với tam giác ABC qua một điểm. Khi P trùng với trực tâm tam giác thì A'B'C'  sẽ trùng với tam giác Gossard A_gB_gC_g của tam giác ABC.

Mở rộng 3

Cho tam giác ABC, cho hai điểm H, O trong mặt phẳng, đường thẳng HO cắt ba cạnh tam giác BC, CA, AB lần lượt tại A₀,B₀,C₀. Cho hai điểm A_H, A_H trên mặt phẳng sao cho C₀A_H song song với BH, B₀A_H song song với CH và C₀A_H song song với BO, B₀A_H song song với CO. Xác định các điểm B_H, B_H, C_H, C_H tương tự. Khi đó tam giác tạo bởi A_HA_H, B_HB_H, C_HC_H và tam giác ABC sẽ đối xứng nhau qua một điểm nằm trên OH.

Khi OH trùng với đường thẳng Euler mở rộng 3 trở về định lý điểm Zeeman-Gossard, khi OH đi qua trọng tâm tam giác ABC từ mở rộng 3 ta thu được mở rộng 2.