Trong hình học phẳng , định lý Casey , được biết đến như một mở rộng định lý Ptoleme , được đặt theo tên nhà toán học người Ai Len John Casey .
t
12
⋅
t
34
+
t
14
⋅
t
23
−
t
13
⋅
t
24
=
0
{\displaystyle t_{12}\cdot t_{34}+t_{14}\cdot t_{23}-t_{13}\cdot t_{24}=0}
Cho
O
{\displaystyle \,O}
R
{\displaystyle \,R}
O
1
,
O
2
,
O
3
,
O
4
{\displaystyle \,O_{1},O_{2},O_{3},O_{4}}
O
{\displaystyle \,O}
t
i
j
{\displaystyle \,t_{ij}}
O
i
,
O
j
{\displaystyle \,O_{i},O_{j}}
[1]
t
12
⋅
t
34
+
t
14
⋅
t
23
=
t
13
⋅
t
24
.
{\displaystyle \,t_{12}\cdot t_{34}+t_{14}\cdot t_{23}=t_{13}\cdot t_{24}.}
Trong trường hợp các đường tròn
O
1
,
O
2
,
O
3
,
O
4
{\displaystyle \,O_{1},O_{2},O_{3},O_{4}}
định lý Ptoleme .
Chứng minh sau đưa ra bởi Zacharias [2]
O
i
{\displaystyle \,O_{i}}
R
i
{\displaystyle \,R_{i}}
O
{\displaystyle \,O}
K
i
{\displaystyle \,K_{i}}
O
,
O
i
{\displaystyle \,O,O_{i}}
Theo định lý Pytago
t
i
j
2
=
O
i
O
j
¯
2
−
(
R
i
−
R
j
)
2
.
{\displaystyle \,t_{ij}^{2}={\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}-(R_{i}-R_{j})^{2}.}
Trong tam giác
O
i
O
O
j
{\displaystyle \,O_{i}OO_{j}}
định lý cos chúng ta có độ dài của
K
i
,
K
j
{\displaystyle \,K_{i},K_{j}}
O
i
O
j
¯
2
=
O
O
i
¯
2
+
O
O
j
¯
2
−
2
O
O
i
¯
⋅
O
O
j
¯
⋅
cos
∠
O
i
O
O
j
{\displaystyle {\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}={\overline {OO_{i}}}^{2}+{\overline {OO_{j}}}^{2}-2{\overline {OO_{i}}}\cdot {\overline {OO_{j}}}\cdot \cos \angle O_{i}OO_{j}}
Vì các đường tròn
O
,
O
i
{\displaystyle \,O,O_{i}}
O
O
i
¯
=
R
−
R
i
,
∠
O
i
O
O
j
=
∠
K
i
O
K
j
{\displaystyle {\overline {OO_{i}}}=R-R_{i},\,\angle O_{i}OO_{j}=\angle K_{i}OK_{j}}
Gọi
C
{\displaystyle \,C}
O
{\displaystyle \,O}
định lý sin trong tam giác
K
i
C
K
j
{\displaystyle \,K_{i}CK_{j}}
K
i
K
j
¯
=
2
R
⋅
sin
∠
K
i
C
K
j
=
2
R
⋅
sin
∠
K
i
O
K
j
2
{\displaystyle {\overline {K_{i}K_{j}}}=2R\cdot \sin \angle K_{i}CK_{j}=2R\cdot \sin {\frac {\angle K_{i}OK_{j}}{2}}}
Do đó:
cos
∠
K
i
O
K
j
=
1
−
2
sin
2
∠
K
i
O
K
j
2
=
1
−
2
⋅
(
K
i
K
j
¯
2
R
)
2
=
1
−
K
i
K
j
¯
2
2
R
2
{\displaystyle \cos \angle K_{i}OK_{j}=1-2\sin ^{2}{\frac {\angle K_{i}OK_{j}}{2}}=1-2\cdot \left({\frac {\overline {K_{i}K_{j}}}{2R}}\right)^{2}=1-{\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{2R^{2}}}}
Từ các đẳng thức trên ta có:
O
i
O
j
¯
2
=
(
R
−
R
i
)
2
+
(
R
−
R
j
)
2
−
2
(
R
−
R
i
)
(
R
−
R
j
)
(
1
−
K
i
K
j
¯
2
2
R
2
)
{\displaystyle {\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}=(R-R_{i})^{2}+(R-R_{j})^{2}-2(R-R_{i})(R-R_{j})\left(1-{\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{2R^{2}}}\right)}
O
i
O
j
¯
2
=
(
R
−
R
i
)
2
+
(
R
−
R
j
)
2
−
2
(
R
−
R
i
)
(
R
−
R
j
)
+
(
R
−
R
i
)
(
R
−
R
j
)
⋅
K
i
K
j
¯
2
R
2
{\displaystyle {\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}=(R-R_{i})^{2}+(R-R_{j})^{2}-2(R-R_{i})(R-R_{j})+(R-R_{i})(R-R_{j})\cdot {\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{R^{2}}}}
O
i
O
j
¯
2
=
(
(
R
−
R
i
)
−
(
R
−
R
j
)
)
2
+
(
R
−
R
i
)
(
R
−
R
j
)
⋅
K
i
K
j
¯
2
R
2
{\displaystyle {\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}=((R-R_{i})-(R-R_{j}))^{2}+(R-R_{i})(R-R_{j})\cdot {\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{R^{2}}}}
Cuối cùng ta có độ dài các đoạn tiếp tuyến là:
t
i
j
=
O
i
O
j
¯
2
−
(
R
i
−
R
j
)
2
=
R
−
R
i
⋅
R
−
R
j
⋅
K
i
K
j
¯
R
{\displaystyle t_{ij}={\sqrt {{\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}-(R_{i}-R_{j})^{2}}}={\frac {{\sqrt {R-R_{i}}}\cdot {\sqrt {R-R_{j}}}\cdot {\overline {K_{i}K_{j}}}}{R}}}
Áp dụng định lý Ptoleme cho tứ giác nội tiếp
K
1
K
2
K
3
K
4
{\displaystyle \,K_{1}K_{2}K_{3}K_{4}}
t
12
t
34
+
t
14
t
23
=
1
R
2
⋅
R
−
R
1
R
−
R
2
R
−
R
3
R
−
R
4
(
K
1
K
2
¯
⋅
K
3
K
4
¯
+
K
1
K
4
¯
⋅
K
2
K
3
¯
)
{\displaystyle t_{12}t_{34}+t_{14}t_{23}={\frac {1}{R^{2}}}\cdot {\sqrt {R-R_{1}}}{\sqrt {R-R_{2}}}{\sqrt {R-R_{3}}}{\sqrt {R-R_{4}}}\left({\overline {K_{1}K_{2}}}\cdot {\overline {K_{3}K_{4}}}+{\overline {K_{1}K_{4}}}\cdot {\overline {K_{2}K_{3}}}\right)}
=
1
R
2
⋅
R
−
R
1
R
−
R
2
R
−
R
3
R
−
R
4
(
K
1
K
3
¯
⋅
K
2
K
4
¯
)
=
t
13
t
24
{\displaystyle ={\frac {1}{R^{2}}}\cdot {\sqrt {R-R_{1}}}{\sqrt {R-R_{2}}}{\sqrt {R-R_{3}}}{\sqrt {R-R_{4}}}\left({\overline {K_{1}K_{3}}}\cdot {\overline {K_{2}K_{4}}}\right)=t_{13}t_{24}}
Định lý được chứng minh.
Định lý Casey được sử dụng nhiều trong các bài báo về Hình học phẳng . Ví dụ định lý Casey được sử dụng để chứng minh định lý Feuerbach .
^ Casey, J. (1866). "On the Equations and Properties: (1) of the System of Circles Touching Three Circles in a Plane; (2) of the System of Spheres Touching Four Spheres in Space; (3) of the System of Circles Touching Three Circles on a Sphere; (4) of the System of Conics Inscribed to a Conic, and Touching Three Inscribed Conics in a Plane". Proceedings of the Royal Irish Academy 9: 396–423
^ Bottema, O. (1944). Hoofdstukken uit de Elementaire Meetkunde. (translation by Reinie Erné as Topics in Elementary Geometry, Springer 2008, of the second extended edition published by Epsilon-Uitgaven 1987).
Casey, J. A Sequel to the First Six Books of the Elements of Euclid, Containing an Easy Introduction to Modern Geometry with Numerous Examples, 5th ed., rev. enl. Dublin: Hodges, Figgis, & Co., p. 103, 1888.
Coolidge, J. L. A Treatise on the Geometry of the Circle and Sphere. New York: Chelsea, p. 37, 1971.
Durell, C. V. Modern Geometry: The Straight Line and Circle. London: Macmillan, p. 117, 1928. 
