Cơ học Lagrange

Một phần của chuỗi bài viết về
Cơ học cổ điển
${\textbf {F}}={\frac {d}{dt}}(m{\textbf {v}})$ Định luật 2 của Newton về chuyển động
Lịch sử Dòng thời gian Sách giáo khoa
Các nhánh Ứng dụng Thiên thể Môi trường liên tục Dynamics Chuyển động học Tĩnh học Thống kê
Động học chất điểm Vị trí Độ dịch chuyển Thời gian Hệ quy chiếu Vận tốc Vận tốc trung bình Vận tốc tức thời Gia tốc Gia tốc tức thời Gia tốc trung bình Không gian
Động lực học chất điểm Lực Trọng lực Lực pháp tuyến Lực ma sát Lực đàn hồi Lực căng Lực cản Ba định luật Newton Định luật thứ nhất của Newton Định luật thứ hai của Newton Định luật thứ ba của Newton
Năng lượng và Bảo toàn năng lượng Năng lượng Công Công suất Cơ năng Động năng Thế năng Thế năng đàn hồi Thế năng hấp dẫn Đinh lí công - động năng Định luật bảo toàn năng lượng
Cơ học vật rắn Chuyển động quay của vật rắn Vị trí góc Trục quay Đường mốc Độ dời góc Vận tốc góc Vận tốc góc trung bình Vận tốc góc tức thời Gia tốc góc Gia tốc góc trung bình Gia tốc góc tức thời Động năng quay Quán tính quay Định lí trục song song Mômen quay Định luật thứ hai của Newton dưới dạng góc Công quay Vật lăn Mômen động lượng Định luật bảo toàn mômen động lượng Tiến động của con quay Cân bằng tĩnh
Hệ hạt và Tương tác hạt Khối tâm Định luật thứ hai của Newton cho hệ hạt Động lượng Định luật bảo toàn động lượng Va chạm Định lí xung lượng - động lượng Va chạm đàn hồi một chiều Va chạm không đàn hồi Va chạm hai chiều
Dao động cơ và Sóng cơ Tần số Chu kì Chuyển động điều hoà đơn giản Biên độ Pha (dao động cơ) Hằng số pha Biên độ vận tốc Biên độ gia tốc Dao động tử điều hoà tuyến tính Con lắc Con lắc xoắn Con lắc đơn Con lắc vật lí Chuyển động điều hoà tắt dần Dao động cưỡng bức Sự cộng hưởng Sóng ngang Sóng dọc Sóng sin tính Bước sóng Giao thoa sóng cơ Sóng dừng Sóng âm Cường độ âm Mức cường độ âm Phách Hiệu ứng Doppler Sóng xung kích
Các nhà khoa học Kepler Galileo Huygens Newton Horrocks Halley Daniel Bernoulli Johann Bernoulli Euler d'Alembert Clairaut Lagrange Laplace Hamilton Poisson Cauchy Routh Liouville Appell Gibbs Koopman von Neumann
Cổng thông tin Vật lý  Thể loại

Joseph-Louis Lagrange (1736—1813)

Cơ học Lagrange là một phương pháp phát biểu lại cơ học cổ điển, do nhà toán học và thiên văn học người Pháp-Ý Joseph-Louis Lagrange giới thiệu vào năm 1788.

Trong cơ học Lagrange, quỹ đạo của một hệ hạt tìm được bằng cách giải phương trình Lagrange có một trong hai dạng, hoặc là phương trình Lagrange kiểu thứ nhất, mà coi các điều kiện giới hạn như là các phương trình phụ thêm, thường sử dụng nhân tử Lagrange; hoặc phương trình Lagrange kiểu thứ hai, trong đó kết hợp trực tiếp với các điều kiện giới hạn bằng cách lựa chọn cẩn thận các tọa độ suy rộng. Trong mỗi trường hợp, một hàm số gọi là Lagrangian là một hàm của các tọa độ suy rộng, các đạo hàm của chúng theo thời gian, thời gian, và chứa các thông tin về động lực của hệ thống.

Không một nền vật lý mới nào được giới thiệu trong cơ học Lagrange so với cơ học Newton. Các định luật của Newton bao gồm cả những lực không bảo toàn như ma sát, tuy nhiên chúng phải chứa các điều kiện giới hạn lực cụ thể và do vậy phù hợp nhất khi miêu tả trong hệ tọa độ Descartes. Cơ học Lagrange miêu tả rất tốt hệ gồm những lực bảo toàn và cho những điều kiện giới hạn lực được miêu tả trong hệ tọa độ bất kỳ. Các lực tiêu tán và dẫn hướng được xét đến bằng cách phân tích lực thành tổng các lực thế năng và phi thế năng, dẫn tới tập hợp các phương trình Euler-Lagrange được sửa đổi cho hệ. Có thể chọn các tọa độ suy rộng sao cho thuận tiện cho sự áp dụng tính đối xứng của hệ hoặc cho tính chất hình học của các điều kiện giới hạn, giúp cho việc giải phương trình chuyển động trở lên đơn giản hơn. Cơ học Lagrange cũng hé lộ ra trực tiếp các đại lượng bảo toàn và đối xứng tương ứng, như phát biểu của trường hợp đặc biệt của định lý Noether.

Cơ học Lagrange có vai trò quan trọng không chỉ đối với áp dụng rộng rãi vào các ứng dụng thực tế, nó cũng là công cụ quan trọng để tìm hiểu sâu hơn các lý thuyết vật lý. Mặc dù Lagrange lúc đầu chỉ tìm cách miêu tả cơ học cổ điển bằng ngôn ngữ phổ quát hơn trong chuyên luận của ông Mécanique analytique (Cơ học giải tích), về sau nguyên lý Hamilton dùng để tìm ra phương trình Lagrange đã được các nhà vật lý nhận thấy có thể áp dụng cho các lý thuyết vật lý cơ bản, đặc biệt là đối với cơ học lượng tử và thuyết tương đối.

Cơ học Lagrange được sử dụng rỗng rãi để giải các vấn đề cơ học trong vật lý và kỹ thuật khi không thuận tiện dùng các công thức của Newton trong cơ học cổ điển để giải. Cơ học Lagrange áp dụng cho động lực của các hạt, các trường được miêu tả sử dụng hàm mật độ Lagrange. Phương trình Lagrange cũng được sử dụng cho vấn đề tối ưu hóa cho hệ động lực. Trong cơ học, phương trình Lagrange loại hai được sử dụng nhiều hơn so với loại một.

Tham khảo

• Lagrange, J. L. (1811). Mécanique analytique. 1.
• Lagrange, J. L. (1815). Mécanique analytique. 2.
• Penrose, Roger (2007). The Road to Reality. Vintage books. ISBN 0-679-77631-1.
• Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. Mechanics (ấn bản 3). Butterworth Heinemann. tr. 134. ISBN 9780750628969.
• Landau, Lev; Lifshitz, Evgeny (1975). The Classical Theory of Fields. Elsevier Ltd. ISBN 978-0-7506-2768-9.
• Hand, L. N.; Finch, J. D. Analytical Mechanics (ấn bản 2). Cambridge University Press. tr. 23. ISBN 9780521575720.
• Louis N. Hand; Janet D. Finch (1998). Analytical mechanics. Cambridge University Press. tr. 140–141. ISBN 0-521-57572-9.
• Saletan, E. J.; José, J. V. (1998). Classical Dynamics: A Contemporary Approach. Cambridge University Press.
• Kibble, T. W. B.; Berkshire, F. H. (2004). Classical Mechanics (ấn bản 5). Imperial College Press. tr. 236. ISBN 9781860944352.
• Goldstein, Herbert (1980). Classical Mechanics (ấn bản 2). San Francisco, CA: Addison Wesley. tr. 352–353. ISBN 0201029189.
• Goldstein, Herbert; Poole, Charles P., Jr.; Safko, John L. (2002). Classical Mechanics (ấn bản 3). San Francisco, CA: Addison Wesley. tr. 347–349. ISBN 0-201-65702-3.
• Lanczos, Cornelius (1986). “II §5 Auxiliary conditions: the Lagrangian λ-method”. The variational principles of mechanics (ấn bản 4). Courier Dover. tr. 43. ISBN 0-486-65067-7.
• Fetter, A. L.; Walecka, J. D. (1980). Theoretical Mechanics of Particles and Continua. Dover. tr. 53–57. ISBN 978-0-486-43261-8.
• The Principle of Least Action, R. Feynman
• Dvorak, R.; Freistetter, Florian (2005). “§ 3.2 Lagrange equations of the first kind”. Chaos and stability in planetary systems. Birkhäuser. tr. 24. ISBN 3-540-28208-4.
• Haken, H (2006). Information and self-organization (ấn bản 3). Springer. tr. 61. ISBN 3-540-33021-6.
• Henry Zatzkis (1960). “§1.4 Lagrange equations of the second kind”. Trong DH Menzel (biên tập). Fundamental formulas of physics. 1 (ấn bản 2). Courier Dover. tr. 160. ISBN 0-486-60595-7.
• Francis Begnaud Hildebrand (1992). Methods of applied mathematics (ấn bản 2). Courier Dover. tr. 156. ISBN 0-486-67002-3.
• Michail Zak; Joseph P. Zbilut; Ronald E. Meyers (1997). From instability to intelligence. Springer. tr. 202. ISBN 3-540-63055-4.
• Ahmed A. Shabana (2008). Computational continuum mechanics. Cambridge University Press. tr. 118–119. ISBN 0-521-88569-8.
• John Robert Taylor (2005). Classical mechanics. University Science Books. tr. 297. ISBN 1-891389-22-X.
• Padmanabhan, Thanu (2000). “§2.3.2 Motion in a rotating frame”. Theoretical Astrophysics: Astrophysical processes (ấn bản 3). Cambridge University Press. tr. 48. ISBN 0-521-56632-0.
• Doughty, Noel A. (1990). Lagrangian Interaction. Addison-Wesley Publishers Ltd. ISBN 0-201-41625-5.
• Kosyakov, B. P. (2007). Introduction to the classical theory of particles and fields. Berlin, Germany: Springer. doi:10.1007/978-3-540-40934-2.
• Galley, Chad R. (2013). “Classical Mechanics of Nonconservative Systems”. Physical Review Letters. 110 (17): 174301. arXiv:1210.2745. Bibcode:2013PhRvL.110q4301G. doi:10.1103/PhysRevLett.110.174301. PMID 23679733.
• Birnholtz, Ofek; Hadar, Shahar; Kol, Barak (2014). “Radiation reaction at the level of the action”. International Journal of Modern Physics A. 29 (24): 1450132. arXiv:1402.2610. Bibcode:2014IJMPA..2950132B. doi:10.1142/S0217751X14501322.
• Birnholtz, Ofek; Hadar, Shahar; Kol, Barak (2013). “Theory of post-Newtonian radiation and reaction”. Physical Review D. 88 (10): 104037. arXiv:1305.6930. Bibcode:2013PhRvD..88j4037B. doi:10.1103/PhysRevD.88.104037.
• Roger F Gans (2013). Engineering Dynamics: From the Lagrangian to Simulation. New York: Springer. ISBN 978-1-4614-3929-5.
• Terry Gannon (2006). Moonshine beyond the monster: the bridge connecting algebra, modular forms and physics. Cambridge University Press. tr. 267. ISBN 0-521-83531-3.
• Torby, Bruce (1984). “Energy Methods”. Advanced Dynamics for Engineers. HRW Series in Mechanical Engineering. United States of America: CBS College Publishing. ISBN 0-03-063366-4.
• Foster, J; Nightingale, J.D. (1995). A Short Course in General Relativity (ấn bản 2). Springer. ISBN 0-03-063366-4.
• M. P. Hobson; G. P. Efstathiou; A. N. Lasenby (2006). General Relativity: An Introduction for Physicists. Cambridge University Press. tr. 79–80. ISBN 9780521829519.