Phép cộng

3 + 2 = 5 quả táo, một ví dụ phổ biến trong sách giáo khoa

Phép cộng (thường được biểu thị bằng ký hiệu cộng "+") là một trong bốn phép toán cơ bản của số học cùng với phép trừ, nhân và chia. Kết quả của phép cộng hai số tự nhiên là giá trị tổng của hai số đó. Ví dụ trong hình bên cho thấy ba quả táo và hai quả táo được gộp lại tạo thành tổng gồm năm quả táo, tương đương với biểu thức toán học "3 + 2 = 5" hay "3 cộng 2 bằng 5".

Cùng với phép đếm, phép cộng có thể được định nghĩa và thực hiện không thông qua những đối tượng cụ thể mà chỉ thông qua một khái niệm trừu tượng được gọi là số, chẳng hạn như số nguyên, số thực và số phức. Phép cộng thuộc về số học, một nhánh của toán học. Trong đại số, một nhánh khác của toán học, phép cộng cũng có thể được thực hiện trên các khái niệm trừu tượng khác, chẳng hạn như vectơ và ma trận.

Phép cộng có một số tính chất quan trọng. Nó có tính giao hoán, nghĩa là không phụ thuộc vào vị trí của các số được cộng, và có tính kết hợp, nghĩa là khi cộng nhiều hơn hai số thì thứ tự thực hiện phép cộng không làm thay đổi kết quả. Phép cộng lặp lại số 1 giống với phép đếm; phép cộng một số với số 0 cho kết quả là chính số đó. Phép cộng cũng tuân theo một số nguyên tắc liên quan đến các phép toán khác như phép trừ và phép nhân.

Thực hiện phép cộng là một trong những bài tập đơn giản nhất về số. Trẻ mới chập chững biết đi dễ tiếp cận với phép cộng các số rất nhỏ; bài tập cơ bản nhất, 1 + 1, có thể thực hiện được bởi trẻ sơ sinh nhỏ đến năm tháng tuổi và kể cả một số cá thể của các loài động vật khác. Trong giáo dục tiểu học, học sinh được dạy cộng các số trong hệ thập phân, bắt đầu từ một chữ số và nâng cao dần lên giải quyết những bài toán khó hơn. Có nhiều công cụ cơ học hỗ trợ tính cộng, từ bàn tính cổ đại đến máy tính hiện đại, trong khi việc nghiên cứu về các cách thực hiện phép cộng hiệu quả nhất vẫn còn tiếp tục cho đến ngày nay.

Ký hiệu và thuật ngữ

Dấu cộng

Phép cộng được viết bằng dấu cộng "+" giữa hai số được cộng; tức là trong ký hiệu trung tố. Kết quả được biểu thị sau dấu bằng. Ví dụ:

$1+1=2$ ("một cộng một bằng hai")

$2+2=4$ ("hai cộng hai bằng bốn")

$1+2=3$ ("một cộng hai bằng ba")

$5+4+2=11$ (xem phần "kết hợp" bên dưới)

$3+3+3+3=12$ (xem phần "nhân" bên dưới)

Phép cộng theo cột – các số trong cột là số được cộng vào và tổng được ghi dưới dấu gạch ngang.

Có một số trường hợp phép cộng được "hiểu" dù không có ký hiệu nào xuất hiện:

• Một số nguyên đứng ngay trước một phân số cho biết tổng của hai số và được gọi là hỗn số. Ví dụ:

3½ = 3 + ½ = 3,5.

Ký hiệu này có thể gây nhầm lẫn vì trong đa số trường hợp khác, hai số đặt liền kề nhau biểu thị phép nhân.

Tổng của một chuỗi các số có thể được biểu diễn bằng ký hiệu sigma, một ký hiệu để biểu thị ngắn gọn phép lặp. Ví dụ:

$\sum _{k=1}^{5}k^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}=55.$

Trong tiếng Việt, số (hoặc vật) được cộng thêm vào trong phép cộng thông thường được gọi chung là số hạng, còn trong tiếng Anh, chúng có thể được gọi là term, addend hoặc summand. Các thuật ngữ này cũng áp dụng được cho phép lấy tổng của nhiều số và dùng để phân biệt với thừa số, tức là các số được nhân lại với nhau. Một số tác giả còn gọi tên số hạng đầu tiên là augend. Thực tế, trong thời Phục Hưng, nhiều tác giả thậm chí còn không thừa nhận số hạng đầu tiên là addend. Ngày nay, do tính giao hoán của phép cộng nên từ augend rất hiếm khi được dùng và các số hạng đều được gọi là addend.

Tất cả các thuật ngữ trên đều có nguồn gốc từ tiếng Latinh. Từ addition và add trong tiếng Anh đến từ động từ tiếng Latinh addere. Từ addere là từ ghép gồm hai âm tiết: ad nghĩa là "đến" và dare nghĩa là "cho" (đến từ gốc từ Ấn-Âu nguyên thủy *deh₃- có nghĩa là "cho"), nên add có nghĩa là "cho vào". Thêm vào hậu tố động danh từ -nd thì được từ addend nghĩa là "thứ được cộng vào". Tương tự, từ động từ augere ("tăng") ta có từ augend ("thứ được tăng lên").

Phần minh họa từ The Art of Nombryng, một trong những sách giáo khoa số học tiếng Anh đầu tiên vào thế kỷ 15.

Sum và summand có từ danh từ tiếng Latinh summa nghĩa là "đỉnh, điểm cao nhất" và động từ tương ứng summare. Điều đó thích hợp không chỉ vì tổng của hai số dương lớn hơn chính hai số đó, mà còn do quan niệm của người Hy Lạp cổ đại và La Mã cổ đại là cộng về phía trên, trái ngược với thực tế hiện đại là cộng về phía dưới, vì vậy một tổng lớn hơn các số hạng theo nghĩa đen. Từ addere và summare xuất hiện sớm nhất từ thời Boethius nếu không phải từ một số tác giả La Mã trước thời của ông như Vitruvius và Frontinus; Boethius còn có thêm một số thuật ngữ khác để chỉ phép cộng. Từ adden và adding trong tiếng Anh trung đại do Chaucer phổ biến.

Dấu cộng "+" (Unicode: U + 002B; ASCII: +) là viết tắt của từ Latinh et có nghĩa là "và". Nó xuất hiện trong các công trình toán học có niên đại ít nhất là từ năm 1489.

Giải thích

Phép cộng được dùng để mô hình hóa nhiều quá trình vật lý. Ngay cả đối với trường hợp cộng số tự nhiên, có nhiều cách giải thích khả dĩ và miêu tả trực quan.

Hợp các tập hợp

Minh họa phép cộng 3 + 2 = 5 khi hợp các tập hợp

Cách giải thích phép cộng cơ bản nhất có thể đến từ việc hợp các tập hợp lại với nhau:

• Khi hai hay nhiều tập hợp rời rạc được kết hợp lại thành một tập hợp duy nhất, số đối tượng trong tập hợp mới bằng tổng số đối tượng có trong các tập hợp ban đầu.

Giải thích này dễ hình dung, rõ ràng và hữu ích với toán học nâng cao; về định nghĩa chính xác chịu ảnh hưởng từ nó, xem mục Số tự nhiên bên dưới. Tuy nhiên, không rõ người ta phải mở rộng dạng phép cộng này như thế nào để bao gồm cả phân số và số âm.

Có thể khắc phục bằng cách xét các đối tượng trong tập hợp dễ phân chia, chẳng hạn như cái bánh hoặc thậm chí là vài đoạn que ngắn phân nhỏ. Ở đây có thể nối đầu của các thanh que này lại, tức là đã minh họa một khái niệm khác về phép cộng: không phải cộng trực tiếp các thanh mà là cộng độ dài của chúng.

Mở rộng độ dài

Minh họa phép cộng đại số 2 + 4 = 6 trên trục số. Lần lượt dịch chuyển 2 đơn vị rồi 4 đơn vị thì kết quả giống như khi dịch chuyển 6 đơn vị.

Minh họa phép cộng một ngôi 2 + 4 = 6 trên trục số. Một lần dịch chuyển 4 đơn vị tương đương với bốn lần dịch chuyển 1 đơn vị.

Một cách giải thích thứ hai về phép cộng đến từ việc kéo dài một độ dài ban đầu thêm một độ dài cho trước:

• Khi một độ dài ban đầu được kéo dài thêm một khoảng nhất định thì độ dài cuối cùng là tổng của độ dài ban đầu và độ dài của phần mở rộng đó.

Tổng a + b có thể được hiểu là một phép toán hai ngôi kết hợp a và b, theo nghĩa đại số, hoặc nó cũng có thể được hiểu là cộng thêm b đơn vị vào a. Theo cách hiểu thứ hai, các phần trong tổng a + b đóng vai trò bất đối xứng và phép toán a + b được xem là áp dụng phép toán một ngôi +b vào a. Thay vì gọi chung cả a và b là số hạng, sẽ phù hợp hơn khi gọi a là số hạng thứ nhất (augend), vì a đóng vai trò thụ động. Cách nhìn này cũng có ích khi bàn về phép trừ, vì mỗi phép toán cộng một ngôi có một phép toán trừ một ngôi nghịch đảo và ngược lại.

Tính chất

Giao hoán

Phép cộng có tính giao hoán: người ta có thể thay đổi vị trí các đối tượng trong một phép cộng, và kết quả là như nhau. Một cách tượng trưng, nếu a và b là hai số bất kỳ, thì

$a+b=b+a$

Thực tế, tính giao hoán trong phép cộng là một phần của "quy tắc giao hoán". Phép nhân cũng có tính giao hoán, nhưng nhiều phép toán khác thì không, ví dụ như phép trừ và phép chia.

Kết hợp

Phép cộng có tính kết hợp: khi cộng ba hay nhiều số, thứ tự thực hiện phép toán không quan trọng.

Ví dụ, biểu thức a + b + c nên được định nghĩa là (a + b) + c hay a + (b + c)? Cho rằng phép cộng có tính kết hợp, sự lựa chọn định nghĩa là không liên quan. Với ba số a, b và c bất kỳ, thì (a + b) + c = a + (b + c). Ví dụ: (1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 6 = 1 + 5 = 1 + (2 + 3)

Khi phép cộng được sử dụng cùng với các phép toán khác, thứ tự thực hiện phép toán trở nên quan trọng. Trong thứ tự thực hiện phép toán tiêu chuẩn, phép cộng có mức độ thấp hơn lũy thừa, căn bậc n, phép nhân và phép chia, nhưng được ưu tiên ngang với phép trừ.

Yếu tố nhận dạng

Khi cộng số không vào bất kỳ số nào, số lượng không thay đổi; không là phần tử đơn vị được cộng vào, còn được gọi là đơn vị cộng. Cho a bất kỳ,

$a+0=0+a=a$

Định luật này lần đầu tiên được xác định trong Brahmasphutasiddhanta của Brahmagupta năm 630, mặc dù nó được ông viết thành ba định luật riêng biệt, tùy thuộc vào việc a là âm, dương hay không, vào ông đã sử dụng các từ ngữ thay vì các ký hiệu đại số. Các nhà toán học Ấn Độ sau này đã tinh chỉnh khái niệm này; vào khoảng năm 830, Mahavira đã viết, "số không trở thành giống như những gì được thêm vào nó", tương ứng với tuyên bố đơn nguyên 0 + a = a.

Kế tiếp

Trong ngữ cảnh của các số nguyên, việc cộng một cũng đóng một vai trò đặc biệt: với bất kỳ số nguyên a nào, số nguyên (a + 1) là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn a, còn được gọi là số kế tiếp của a. Ví dụ, 3 là số kế tiếp của 2 và 7 là số kế tiếp của 6. Vì tính kế tiếp này, giá trị của a + b cũng có thể được xem là số kế tiếp thứ b của a, tạo ra sự kế tiếp lặp lại. Ví dụ, 6 + 2 bằng 8, vì 8 là số kế tiếp của 7, là kế tiếp của 6, nên 8 là số kế tiếp thứ 2 của 6.

Đơn vị

Để cộng các số có đơn vị vật lý, chúng phải được thể hiện bằng các đơn vị giống nhau. Ví dụ, cộng 50 ml vào 150 ml bằng 200 ml. Tuy nhiên, nếu độ dài 5 feet được kéo dài thêm 2 inch thì tổng là 62 inch, vì 60 inch tương đương với 5 feet. Mặt khác, thường là vô nghĩa khi cố gắng cộng 3 met với 4 met vuông, vì các đơn vị đó không thể so sánh được.

Thực hiện phép cộng

Khả năng bẩm sinh

Các nghiên cứu về sự phát triển của toán học bắt đầu từ khoảng những năm 1980 đã khai thác hiện tượng thói quen: trẻ sơ sinh nhìn lâu hơn vào các tình huống bất ngờ. Trong một thí nghiệm của Karen Wynn vào nằm 1992 liên quan đến búp bê chuột Mickey bị điều khiển sau màn hình đã chứng minh rằng trẻ sơ sinh 5 tháng tuổi mong đợi 1 + 1 bằng 2 và chúng tương đối ngạc nhiên khi một tình huống vật lý dường như đã ngụ ý rằng 1 + 1 bằng 1 hoặc 3. Phát hiện này đã được xác nhận bởi nhiều phòng thí nghiệm sử dụng các phương pháp khác nhau. Một thí nghiệm khác năm 1992 với những đứa trẻ mới biết đi, từ 18 đến 35 tháng tuổi, đã nghiên cứu hành vi của chúng bằng cách cho chúng lấy những quả bóng bàn từ hộp; đứa trẻ nhỏ nhất trả lời tốt với số lượng nhỏ, trong khi những đứa trẻ lớn hơn có thể tính phép cộng có tổng lên tới 5.

Ngay cả một số động vật không phải người cũng thể hiện khả năng thực hiện phép cộng một cách hạn chế, đặc biệt là linh trưởng. Trong một thí nghiệm năm 1995 lặp lại thí nghiệm năm 1992 của Wynn (nhưng sử dụng cà tím thay vì búp bê), khỉ raveus và khi tamarin đã thực hiện tương tự như trẻ sơ sinh. Đáng kinh ngạc hơn, sau khi được dạy về ý nghĩa của các chữ số Ả Rập từ 0 đến 4, một con tinh tinh có thể tính tổng của hai chữ số mà không cần dạy thêm. Gần đây, voi châu Á đã thể hiện khả năng thực hiện các phép tính số học cơ bản.

Học cộng khi còn nhỏ

Thông thường, kỹ năng mà trẻ em thành thạo đầu tiên là đếm. Khi đưa ra một vấn đề đòi hỏi phải kết hợp hai số hoặc ba số, trẻ nhỏ mô hình hóa tình huống bằng các vật thể, thường là ngón tay hoặc hình vẽ, sau đó đếm tống số. Khi đã có kinh nghiệm, những đứa trẻ sẽ học hoặc khám phá ra cách "đến ngược": yêu cầu tìm hai cộng ba, trẻ sẽ đếm bắt đầu từ ba mà bỏ qua hai, đếm "ba, bốn, năm" (thường đánh dấu bằng ngón tay) và kết thúc tại năm. Cách này có vẻ gần như là phổ quát; trẻ em có thể dễ dàng học được nó từ bạn bè hoặc giáo viên. Hầu hết là khám phá ra nó một cách độc lập. Với những kinh nghiệm sử dụng phép cộng, trẻ học được cách cộng nhanh hơn bằng cách khai thác tính giao hoán của phép cộng bằng cách đếm từ số lớn hơn, trong trường hợp này là bỏ qua ba và đếm "bốn, năm". Cuối cùng, trẻ em bắt đầu ghi nhớ một số phép toán nhất định, thông qua kinh nghiệm hoặc học thuộc lòng. Một khi một số sự kiện đã được ghi lại vào bộ nhớ, trẻ bắt đầu rút ra những sự thật chưa biết từ những điều đã biệt. Ví dụ, một đứa trẻ được yêu cầu cộng sáu và bảy có thể biết rằng 6 + 6 = 12 và vì vậy 6 + 7 là một số lớn hơn 1 đơn vị, là 13. Những sự kiện xuất phát như vậy có thể được tìm thấy rất nhanh và cuối cùng hầu hết học sinh tiểu học dựa vào một hỗn hợp các sự kiện đã được ghi nhớ và dẫn xuất để thực hiện phép cộng trôi chảy.

Các quốc gia khác nhau dạy trẻ biết bộ số và số học ở các độ tuổi khác nhau, nhiều quốc gia dạy phép cộng ở trường mầm non. Tuy nhiên, trên toàn thế giới, phép cộng được dạy vào cuối năm thứ nhất của trường tiểu học.

Bảng cộng

Trẻ em thường được yêu cầu nhớ các phép cộng từ 0 đến 10. Biết được điều này, ta có thể thực hiện bất kỳ phép cộng số tự nhiên nào.

+	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
2	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
3	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
4	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
5	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
6	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
7	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
8	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
9	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
10	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20

Hệ thập phân

Điều kiện tiên quyết để thực hiện phép cộng trong hệ thập phân là tính toán lưu toán 100 phép cộng trong bảng cộng. Người ta có thể ghi nhớ các phép tính bằng cách học vẹt, nhưng bằng cách áp dụng các tính chất cơ bản của phép cộng, đối với hầu hết mọi người, sẽ có hiệu quả cao hơn:

• Tính chất giao hoán: Được đề cập ở trên, sử dụng mẫu a + b = b + a sẽ làm giảm số lượng phép tính từ 100 xuống còn 55.
• Thêm một hoặc hai: Chia số các số lẻ và chẵn, cộng các số chẵn trước, rồi sau đó cộng phần lẻ sau.
• Gần gấp đôi: Kết quả của phép tính 6 + 7 = 13 có thể dễ dàng suy ra từ 6 + 6 = 12 và cộng thêm một hay 7 + 7 = 14 trừ đi một.
• Năm và mười: Tổng của mẫu 5 + x và 10 +x thường được ghi nhớ sớm hơn và có thể được sử dụng trong các phép tính khác. Ví dụ: 6 + 7 = 13 có thể được suy ra từ 5 + 7 = 12 cộng thêm 1.
• Số 10: Một cách khác liên quan đến số 10 là sử dụng 10 làm trung gian cho phép tính; ví dụ: 8 + 6 = 8 + 2 + 4 = 10 + 4 = 14.

Khi học sinh lớn lên, chúng ghi lại nhiều phép tính hơn vào bộ nhớ và học cách rút ra các phép tính khác một cách nhanh chóng và trôi chảy. Nhiều học sinh không bao giờ ghi lại tất cả các phép tính vào bộ nhớ, nhưng khi cần vẫn có thể nhanh chóng suy ra từ các phép tính cơ bản.

Thực hiện

Cách tính phép cộng cơ bản là viết các số có nhiều chữ số theo chiều dọc và cộng từng cột, bắt đầu từ phải sang trái. Nếu kết quả của một cột vượt quá 9, chữ số hàng chục sẽ được nhớ để cộng vào cột tiếp theo. Ví dụ: thực hiện phép cộng 27 + 59

${\begin{matrix}&{\overset {1}{2}}7\\+&59\\&{\overline {86}}\end{matrix}}$

7 + 9 = 16, viết 6 nhớ 1; 2 + 5 = 7, nhớ 1 là 8.

Một phương pháp khác bắt cộng từ số có nghĩa đầu tiên ở bên trái; phương pháp này làm cho việc tính toán trở nên vụng về, nhưng nó hiệu quả cho việc ước tính nhanh sơ bộ tổng. Có nhiều phương pháp thay thế.

Cộng số thập phân

Số thập phân có thể được cộng theo một quá trình đã được sửa đổi đơn giản của quá trình trên. Viết hai số thập phân trên nhau, sao cho dấu thập phân ở cùng một vị trí. Nếu cần thiết, người ta có thể thêm các số 0 ở cuối của một số thập phân ngắn hơn để làm cho nó có cùng độ dài với số thập phân dài hơn. Cuối cùng thực hiện phép cộng theo quy trình tương tự như trên, ngoại trừ việc đặt dấu thập phân ở chỗ chính xác trong kết quả/

Ví dụ, thực hiện phép cộng 45,1 + 4,34

${\begin{matrix}&45,10\\+&04,34\\&{\overline {49,44}}\end{matrix}}$

Ký hiệu khoa học

Trong ký hiệu khoa học, các con số được viết dưới dạng $x=a\times 10^{b}$, ở đây a là phần nghĩa và $10^{b}$ là phần số mũ. Phép cộng yêu cầu hai số trong ký hiệu khoa học phải có phần số mũ giống nhau, để cho hai số có thể được cộng một cách đơn giản.

Ví dụ:

$2,34\times 10^{-5}+5,67\times 10^{-6}=2,34\times 10^{-5}+0,567\times 10^{-5}=2,907\times 10^{-5}$

Phép cộng trong các hệ số khác

Phép cộng trong các hệ số khác rất giống với phép cộng thập phân. Ví dụ, cộng hai số trong hệ nhị phân, cộng hai số nhị phân có một chữ số tương đối đơn giản, sử dụng số nhớ:

$0+0\longrightarrow 0$

$0+1\longrightarrow 1$

$1+0\longrightarrow 1$

$1+1\longrightarrow 0$, nhớ 1 (vì 1 + 1 = 2 = 0 + (1 x 2¹))

Cộng hai số "1" sẽ bằng một số "0" và nhớ "1" vào cột tiếp theo. Điều này tương tự với những gì xảy ra trong số thập phân khi các số có một chữ số được cộng lại với nhau; nếu kết quả bằng hoặc vượt giá trị của cơ số (10), chữ số bên trái được tăng lên một đơn vị:

$5+5\longrightarrow 0$, nhớ 1 (vì 5 + 5 = 10 = 0 + (1 x 10¹))

$7+9\longrightarrow 6$, nhớ 1 (vì 7 + 9 = 16 = 6 + (1 x 10¹))

Cách nhớ một số để cộng vào hàng tiếp theo được thực hiện tương tự như phép cộng trong hệ cơ số mười, ví dụ về số nhớ trong hệ nhị phân:

${\begin{matrix}&{\overset {1}{0}}{\overset {1}{0}}{\overset {1}{1}}{\overset {1}{1}}{\overset {1}{0}}{\overset {}{1}}\\+&010111\\&{\overline {100100}}&=36\end{matrix}}$

Trong ví dụ này có hai số được cộng với nhau là 1101₂ (13₁₀) và 10111₂ (23₁₀). Hàng trên cùng là các số nhớ. Cột thứ nhất bên phải, 1 + 1 = 10₂, viết 0 nhớ 1; cột thứ 2, 1+ 0 + 1 = 10₂, viết 0 nhớ 1; cột thứ 3, 1 + 1 + 1 = 11₂, viết 1 nhớ 1. Tiếp tục tính các cột còn lại ta được kết quả là 100100₂ (36₁₀).

Máy tính

Bài chi tiết: Analog computer

Các máy tính analog làm việc trực tiếp với các đại lượng vật lý, vì vậy cơ chế thực hiện phép cộng của chúng phụ thuộc vào hình thức của phép tính. Bộ cộng cơ học có thể sử dụng vị trí của các khối trượt làm đại diện cho các số trong phép cộng, trong trường hợp đó, phép cộng được thực hiện nhờ vào một đòn bẩy. Nếu phần được cộng thêm là tốc độ quay của hai trục, chúng có thể được cộng bằng vi sai. Một bộ cộng thủy lực có thể cộng thêm áp lực vào hai khoang bằng cách khai thác định luật thứ hai của Newton để cân bằng lực trên một cụm pittong. Tình huống phổ biến nhất của một máy tính analog là cộng hai điện áp; điều này có thể được thực hiện gần đúng với một mạng điện trở, nhưng để tốt hơn thì nên sử dụng một mạch khuếch đại thuật toán.

Phép cộng cũng là nền tảng hoạt động của máy tính kỹ thuật số, trong đó hiệu suất của việc thực hiện phép cộng, đặc biệt là cơ chế nhớ, là một hạn chế quan trọng liên quan đến hiệu suất tổng thể.

Bàn tính là một công cụ tính toán đã được sử dụng nhiều thế kỷ từ trước khi hệ thống chữ số hiện đại được sử dụng, và ngày nay vẫn phổ biến trong giới thương nhân châu Á, châu Phi; nó xuất hiện ít nhất từ 2700-2300 TCN, khi nó được sử dụng tại Sumer.

Blaise Pascal đã phát minh ra máy tính cơ học vào năm 1642; nó là máy tính cộng đầu tiên. Nó sử dụng một cơ chế nhớ dựa vào trọng lực. Nó là máy tính cơ học duy nhất hoạt động trong thế kỷ 17 và là máy tính kỹ thuật số tự động sớm nhất. Máy tính của Pascal bị giới hạn bởi cơ chế mang, nó buộc các bánh quay chỉ quay một chiều để cộng. Giovanni Poleni đã dựa theo Pascal, xây dựng chiếc máy tính cơ học thứ hai vào năm 1709, nó là một chiếc đồng hồ tính toán làm bằng gỗ, khi được thiết lập có thể tự động nhân hai số.

Phép cộng phân số

${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+cd}{bd}}$ $(b\neq 0,d\neq 0)$