Tích Descartes

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm

Trong toán học, đặc biệt là trong lý thuyết tập hợp, tích Descartes (hay tích Đềcác) của hai tập hợp AB, ký hiệu là A×B, là một tập hợp chứa tất cả các bộ có dạng (a, b) với a là một phần tử của Ab là một phần tử của B. Hay, viết trong ngôn ngữ của lý thuyết tập hợp:

A \times B = \{ (a, b) \mid  a \in A, b \in B \}.

Ví dụ, nếu:

A = {1,2}
B = {p,q,r}

thì:

A×B = {(1,p),(1,q),(1,r),(2,p),(2,q),(2,r)}

và:

B×A = {(p,1),(q,1),(r,1),(p,2),(q,2),(r,2)}

Như vậy tích Descartes của 2 tập hợp là một phép toán 2 ngôi trên các tập hợp. Có thể mở rộng định nghĩa tích Descartes của nhiều tập hợp A1×A2×...×An là tập hợp chứa tất cả các bộ có dạng (a1,a2,...,an) với ai là một phần tử của Ai (i = 1, 2,..., n). Hay, viết trong ngôn ngữ của lý thuyết tập hợp:

A_1\times\cdots\times A_n = \{ (a_1, \ldots, a_n) \mid  a_1 \in A_1, \cdots, a_n \in A_n \}.

Lịch sử[sửa | sửa mã nguồn]

Tên gọi tích Descartes được lấy theo tên của nhà toán học người Pháp René Descartes, dựa trên đóng góp của ông cho đại số giải tích

Tính chất[sửa | sửa mã nguồn]

Lực lượng (số phần tử) của tích Descartes bằng tích của lực lượng của từng tập hợp:

|A1×...×An| = |A1|×...×|An|

Trong ví dụ ở đầu bài viết, |A| = 2, |B| = 3 và ta thấy |A×B| = 2×3 = 6.

  • Tích Descartes giữa hai tập (hoặc một số hữu hạn tập) đếm được là đếm được

Lũy thừa Descartes[sửa | sửa mã nguồn]

Ta có lũy thừa bậc 2 Descartes (hay bình phương Descartes) của tập hợp A được định nghĩa là tích Descartes của A với A:

A2 = A×A

Tương tự, lũy thừa Descartes bậc n là tích Descartes của n tập A:

An = A×A×...×A

(có n tập A ở vế phải)

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  • Nguyễn Đình Trí (Chủ biên) và các tác giả khác, Toán cao cấp, Tập 1, Nhà xuất bản Giáo dục, Tái bản lần thứ 7, 2006