Trung tuyến

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm

Trong hình học, trung tuyến của một tam giác là một đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác tới trung điểm của cạnh đối diện. Mỗi tam giác đều có ba trung tuyến: mỗi trung tuyến đều chạy từ mỗi đỉnh của tam giác tới các cạnh đối diện. Đối với tam giác cântam giác đều, mỗi cạnh trung tuyến của tam giác chia đôi chia đôi các góc ở đỉnh với hai cạnh kề có chiều dài bằng nhau.

Chia ra các tam giác bằng nhau[sửa | sửa mã nguồn]

Mỗi một trung tuyến chia diện tích của tam giác thành hai phần bằng nhau. Ba trung tuyến chia tam giác thành sáu tam giác nhỏ với diện tích bằng nhau.

Chứng minh[sửa | sửa mã nguồn]

Triangle.Centroid.Median.png

Xem xét tam giác ABC (hình bên), cho D là trung điểm của \overline{AB}, E là trung điểm của \overline{BC}, F là trung điểm của \overline{AC}, và O là trọng tâm.

Theo định nghĩa, AD=DB, AF=FC, BE=EC \,. Do đó [ADO]=[BDO], [AFO]=[CFO], [BEO]=[CEO],[ABE]=[ACE] \,, trong đó [ABC]diện tích của \triangle ABC; điều này đúng bởi trong mỗi trường hợp hai tam giác có chiều dài đáy bằng nhau, và có cùng đường cao từ đáy (mở rộng), và diện tích của tam giác thì bằng một phần hai đáy nhân đường cao.

Chúng ta có:

[ABO]=[ABE]-[BEO] \,
[ACO]=[ACE]-[CEO] \,

Do đó, [ABO]=[ACO] \,[ADO]=[DBO], [ADO]=\frac{1}{2}[ABO]

Do [AFO]=[FCO], [AFO]= \frac{1}{2}ACO=\frac{1}{2}[ABO]=[ADO], do đó, [AFO]=[FCO]=[DBO]=[ADO]\,. Sử dụng cùng phương pháp này, ta có thể chứng minh [AFO]=[FCO]=[DBO]=[ADO]=[BEO]=[CEO] \,.

Công thức liên quan tới độ dài của trung tuyến[sửa | sửa mã nguồn]

Độ dài của trung tuyến có tính được bằng định lý Apollonius như sau:

m_a = \sqrt {\frac{2 b^2 + 2 c^2 - a^2}{4} },
m_b = \sqrt {\frac{2 a^2 + 2 c^2 - b^2}{4} },
m_c = \sqrt {\frac{2 a^2 + 2 b^2 - c^2}{4} },

trong đó a, bc là các cạnh của tam giác với các trung tuyến tương ứng ma, mb, và mc từ trung điểm

Do vậy chúng ta cũng có các mối quan hệ:[1]

a = \frac{2}{3} \sqrt{-m_a^2 + 2m_b^2 + 2m_c^2} = \sqrt{2(b^2+c^2)-4m_a^2} = \sqrt{\frac{b^2}{2} - c^2 + 2m_b^2} = \sqrt{\frac{c^2}{2} - b^2 + 2m_c^2},
b = \frac{2}{3} \sqrt{-m_b^2 + 2m_a^2 + 2m_c^2} = \sqrt{2(a^2+c^2)-4m_b^2} = \sqrt{\frac{a^2}{2} - c^2 + 2m_a^2} = \sqrt{\frac{c^2}{2} - a^2 + 2m_c^2},
c = \frac{2}{3} \sqrt{-m_c^2 + 2m_b^2 + 2m_a^2} = \sqrt{2(b^2+a^2)-4m_c^2} = \sqrt{\frac{b^2}{2} - a^2 + 2m_b^2} = \sqrt{\frac{a^2}{2} - b^2 + 2m_a^2}.

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Chú thích[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ Déplanche, Y. (1996). Diccio fórmulas. Medianas de un triángulo. Edunsa. tr. 22. ISBN 978-84-7747-119-6. Truy cập ngày 24 tháng 4 năm 2011. 

Liên kết[sửa | sửa mã nguồn]