Định lý Ptoleme

Định lý Ptôlêmê về mối liên hệ giữa độ dài các cạnh trong một tứ giác nội tiếp.

Định lý Ptolemy hay đẳng thức Ptolemy là đẳng thức trong hình học Euclid miêu tả quan hệ giữa độ dài bốn cạnh và hai đường chéo của một tứ giác nội tiếp đường tròn. Định lý này mang tên nhà toán học và thiên văn học người Hy Lạp cổ đại Ptolemy (tức Claudius Ptolemaeus).

Nếu A, B, C, và D là 4 đỉnh của tứ giác nội tiếp đường tròn thì:

$|{\overline {AC}}|\cdot |{\overline {BD}}|=|{\overline {AB}}|\cdot |{\overline {CD}}|+|{\overline {BC}}|\cdot |{\overline {AD}}|$

với dấu gạch ngang kí hiệu độ dài của các cạnh.

Định lý này cũng có thể phát biểu thành định lý thuận và đảo:

Thuận:Nếu một tứ giác nội tiếp trong một đường tròn thì tích của hai đường chéo bằng tổng các tích của các cặp cạnh đối diện.

Đảo:Nếu một tứ giác thỏa mãn điều kiện tổng các tích của các cặp cạnh đối diện bằng tích của hai đường chéo thì tứ giác đó nội tiếp một đường tròn.

Chứng minh

1. Gọi ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn.
2. Trên cung nhỏ BC, ta có các góc nội tiếp ∠BAC = ∠BDC, và trên cung AB, ∠ADB = ∠ACB.
3. Lấy 1 điểm K trên AC sao cho ∠ABK = ∠CBD;
   1. Từ ∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD, suy ra ∠CBK = ∠ABD.
4. Do vậy tam giác △ABK đồng dạng với tam giác △DBC, và tương tự có △ABD ∼ △KBC.
5. Suy ra: AK/AB = CD/BD, và CK/BC = DA/BD;
   1. Từ đó AK·BD = AB·CD, và CK·BD = BC·DA;
   2. Cộng các vế của 2 đẳng thức trên: AK·BD + CK·BD = AB·CD + BC·DA;
   3. Hay: (AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA;
   4. Mà AK+CK = AC, nên AC·BD = AB·CD + BC·DA; (điều phải chứng minh)

Bất đẳng thức Ptolemy

Bất đẳng thức Ptolemy là trường hợp tổng quát của định lý Ptolemy đối với một tứ giác bất kỳ. Nếu ABCD là tứ giác bất kỳ thì

${\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}+{\overline {BC}}\cdot {\overline {DA}}\geq {\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tứ giác nội tiếp trong một đường tròn và trở thành định lý Ptolemy.

Chứng minh

Sử dụng tính chất tam giác đồng dạng và bất đẳng thức tam giác.

Dựng điểm $E$ sao cho $\triangle BCD$ đồng dạng với $\triangle BEA$. Khi đó, theo tính chất của tam giác đồng dạng, ta có

${\frac {BA}{EA}}={\frac {BD}{CD}}$

Suy ra

$BA.CD=EA.BD(1)$

Mặt khác, $\triangle EBC$ và $\triangle ABD$ cũng đồng dạng do có

${\frac {BA}{BD}}={\frac {BE}{BC}}$ và ${\widehat {EBC}}={\widehat {ABD}}$

Từ đó

${\frac {EC}{BC}}={\frac {AD}{BD}}$

Suy ra

$AD.BC=EC.BD(2)$

Cộng (1) và (2) ta suy ra

$AB\cdot CD+AD\cdot BC=BD\cdot (EA+EC)$

Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta suy ra ${AB}\cdot {CD}+{BC}\cdot {DA}\geq {AC}\cdot {BD}$

Xem thêm

• Định lý Casey

Tham khảo

• I.F.Sharyghin, Các bài toán hình học phẳng, NXB "Nauka", Moscow 1986 (tiếng Nga)
• Coxeter, H. S. M. and Greitzer, S. L.: "Ptolemy's Theorem and its Extensions." §2.6 in Geometry Revisited. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 42–43, 1967.
• De Revolutionibus Orbium Coelestium, Copernicus, Nicolaus. English translation from On the Shoulders of Giants, Hawking, S 2002, Penguin Books. ISBN 0-14-101571-3

Liên kết ngoài

• Proof of Ptolemy's Theorem for Cyclic Quadrilateral
• MathPages − On Ptolemy's Theorem
• Elert, Glenn (1994). “Ptolemy's Table of Chords”. E-World.
• Ptolemy's Theorem at cut-the-knot
• Compound angle proof at cut-the-knot
• Ptolemy's Theorem on PlanetMath
• Ptolemy Inequality on MathWorld
• De Revolutionibus Orbium Coelestium at Harvard.
• Deep Secrets: The Great Pyramid, the Golden Ratio and the Royal Cubit
• Ptolemy's Theorem by Jay Warendorff, The Wolfram Demonstrations Project.
• Book XIII of Euclid's Elements
• [1] by I.S Amarasinghe, Vol 02(01), 2013