Giả lồi

Trong toán học, cụ thể là trong lý thuyết hàm số có biến số phức, một giả lồi (pseudoconvexity) là một tập mở trong không gian phức n chiều Cⁿ. Khái niệm này là quan trọng, vì chúng cho phép phân loại các bậc trong lý thuyết đồng luân. Cho tập con G của Cⁿ làm một miền và là một tập mở liên thông. G được gọi là giả lồi nếu tồn tại một hàm số plurisubharmonic liên tục φ trên G và như vậy

$\left\{z\in G\ |\ \varphi (z)<x\right\}$

là tập compact có quan hệ của G với mọi số thực x. Nói cách khác, một miền là giả lồi nếu G có một hàm số plurisubharmonic "cạn kiệt" liên tục. Mọi tập lồi có thể giả lồi. Giả lồi Levi còn được gọi đơn giản là giả lồi. Khi G có một tập C² làm biên. Một cách đặc biệt, với biên C² có thể chỉ ra rằng G có một hàm số định nghĩa, i.e., tồn tại $\rho :\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {R}$ là C² cho nên $G=\left\{\rho <0\right\}$ và $\partial G=\left\{\rho =0\right\}.$ Bây giờ, G là giả lồi nếu và chỉ nếu p ∈ ∂G và w thuộc không gian phức tiếp tuyến:

$\nabla \rho (p)w=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \rho (p)}{\partial z_{j}}}w_{j}=0$ ta sẽ có

$\sum _{i,j=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}\rho (p)}{\partial z_{i}\partial {\bar {z_{j}}}}}w_{i}{\bar {w_{j}}}\geq 0.$

Nếu G không có biên C² thì dữ kiện sẽ trở nên dễ hiểu hơn.

Mệnh đề 1: Nếu G giả lồi, nó sẽ có biên, các miền giả lồi Levi mạnh $G_{k}\subset G$ với biên $C^{\infty }$ (mịn) là compact trong G, thật vậy

$G=\bigcup _{i=1}^{\infty }G_{k}.$

Nó đúng vì một khi φ theo như định nghĩa giả lồi ta có thể thực sự tìm được hàm "cạn" của <math>C^\infty.

Trường hợp n = 1

Trên đường thẳng phức C¹, mọi tập mở đều giả lồi. Khái niệm giả lồi thường được sử dụng trong không gian phức có số chiều (hiển nhiên là nguyên dương) lớn hơn 1.

Xem thêm

• Bao lồi đồng luân
• Đa tạp Stein
• Khối đa diện
• Eugenio Elia Levi

Tham khảo

• Lars Hörmander, An Introduction to Complex Analysis in Several Variables, North-Holland, 1990. (ISBN 0-444-88446-7).
• Steven G. Krantz. Function Theory of Several Complex Variables, AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992.

Bài viết này có sử dụng tài liệu từ Pseudoconvex tại PlanetMath, với giấy phép sử dụng Creative Commons Attribution/Share-Alike License.

Liên kết ngoài

• Range, R. Michael (tháng 2 năm 2012), “WHAT IS...a Pseudoconvex Domain?” (PDF), Notices of the American Mathematical Society, 59 (2): 301–303, doi:10.1090/noti798