Abraham de Moivre

Abraham de Moivre

FRS
Abraham de Moivre; FRS
	de Moivre được vẽ bởi Joseph Highmore, 1736
Sinh	26 tháng 5 năm 1667; Vitry-le-François, Champagne (tỉnh), Vương quốc Pháp
Mất	27 tháng 11 năm 1754 (87 tuổi); London, Anh
Trường lớp	Học viện Saumur; Collège d'Harcourt [fr]
Nổi tiếng vì	Công thức De Moivre; Định luật De Moivre; Quá trình Martingale của De Moivre; Định lý De Moivre-Laplace; Nguyên lý bao hàm-loại trừ; Hàm sinh; Dự đoán về cái chết của chính ông
	Sự nghiệp khoa học
Ngành	Toán học

Abraham de Moivre (phát âm tiếng Pháp: [abʁaam də mwavʁ]; 26 tháng 5 năm 1667 – 27 tháng 11 năm 1754) là một nhà toán học người Pháp nổi tiếng với công thức de Moivre, một công thức liên kết số phức và lượng giác, và với công trình nghiên cứu về phân phối chuẩn và lý thuyết xác suất.

Ông chuyển đến Anh khi còn trẻ do cuộc đàn áp tôn giáo đối với người Huguenot ở Pháp, đạt đỉnh điểm vào năm 1685 với Sắc lệnh Fontainebleau.^[1] Ông là bạn của Isaac Newton, Edmond Halley và James Stirling. Trong số những người Huguenot lưu vong cùng ông ở Anh, ông là đồng nghiệp của biên tập viên và dịch giả Pierre des Maizeaux.

De Moivre đã viết một cuốn sách về lý thuyết xác suất, Học thuyết về cơ hội, được cho là rất được giới cờ bạc ưa chuộng. De Moivre là người đầu tiên phát hiện ra công thức Binet, biểu thức dạng đóng cho dãy số Fibonacci, liên hệ lũy thừa bậc n của tỉ lệ vàng φ với số Fibonacci thứ n. Ông cũng là người đầu tiên đưa ra giả thuyết về định lý giới hạn trung tâm, một nền tảng của lý thuyết xác suất, và ông đã chứng minh một trường hợp đặc biệt của định lý này.

Cuộc đời

Những năm đầu đời

Abraham de Moivre sinh ra ở Vitry-le-François, vùng Champagne vào ngày 26 tháng 5 năm 1667. Cha ông, Daniel de Moivre, là một bác sĩ phẫu thuật tin tưởng vào giá trị của giáo dục. Mặc dù cha mẹ của Abraham de Moivre theo đạo Tin Lành, ông lại theo học trường Công giáo của Dòng Anh em Kitô giáo ở Vitry, một ngôi trường khá khoan dung trong bối cảnh căng thẳng tôn giáo ở Pháp thời bấy giờ. Khi mười một tuổi, cha mẹ ông gửi ông đến Học viện Tin Lành ở Sedan, nơi ông học tiếng Hy Lạp trong bốn năm dưới sự hướng dẫn của Jacques du Rondel. Học viện Tin Lành ở Sedan được thành lập năm 1579 theo sáng kiến của Françoise de Bourbon, góa phụ của Henri-Robert de la Marck.

Năm 1682, Học viện Tin Lành ở Sedan bị giải thể, và de Moivre theo học logic tại Saumur trong hai năm. Mặc dù toán học không nằm trong chương trình học của mình, de Moivre đã tự đọc một số tác phẩm về toán học, bao gồm Éléments des mathématiques của linh mục dòng Oratorian kiêm nhà toán học người Pháp Jean Prestet và một chuyên luận ngắn về các trò chơi may rủi, De Ratiociniis in Ludo Aleae, của Christiaan Huygens, nhà vật lý, toán học, thiên văn học và nhà phát minh người Hà Lan. Năm 1684, de Moivre chuyển đến Paris để học vật lý, và lần đầu tiên được đào tạo toán học bài bản với các bài học riêng từ Jacques Ozanam.

Sự đàn áp tôn giáo ở Pháp trở nên nghiêm trọng khi Vua Louis XIV ban hành Sắc lệnh Fontainebleau năm 1685, thu hồi Sắc lệnh Nantes, sắc lệnh đã trao những quyền lợi đáng kể cho người Tin lành Pháp. Sắc lệnh này cấm thờ cúng theo đạo Tin lành và yêu cầu tất cả trẻ em phải được rửa tội bởi các linh mục Công giáo. De Moivre được gửi đến Prieuré Saint-Martin-des-Champs, một trường học mà chính quyền gửi trẻ em Tin lành đến để được truyền bá tư tưởng Công giáo.

Không rõ khi nào de Moivre rời Prieuré de Saint-Martin và chuyển đến Anh, vì hồ sơ của Prieuré de Saint-Martin cho thấy ông rời trường vào năm 1688, nhưng de Moivre và anh trai của ông đã tự xưng là người Huguenot được nhận vào Giáo hội Savoy ở London vào ngày 28 tháng 8 năm 1687.

Những năm giữa đời

Khi đến London, de Moivre đã là một nhà toán học giỏi với kiến thức tốt về nhiều văn bản tiêu chuẩn.^[1] Để kiếm sống, de Moivre trở thành gia sư toán học tư nhân, đến thăm học trò hoặc dạy học tại các quán cà phê ở London. De Moivre tiếp tục nghiên cứu toán học sau khi đến thăm Bá tước xứ Devonshire và xem cuốn sách mới của Newton, Principia Mathematica. Sau khi xem qua cuốn sách, ông nhận ra rằng nó sâu sắc hơn nhiều so với những cuốn sách mà ông đã nghiên cứu trước đây, và ông quyết tâm đọc và hiểu nó. Tuy nhiên, vì phải đi bộ nhiều vòng quanh London để di chuyển giữa các học sinh, de Moivre có rất ít thời gian để học tập, vì vậy ông đã xé các trang sách và mang chúng trong túi để đọc giữa các giờ học.

Theo một câu chuyện có thể là hư cấu, Newton, trong những năm cuối đời, thường giới thiệu những người đặt câu hỏi toán học cho ông đến gặp de Moivre, nói rằng, "Ông ấy biết tất cả những điều này tốt hơn tôi."^[2]

Đến năm 1692, de Moivre trở thành bạn với Edmond Halley và ngay sau đó là với chính Isaac Newton. Năm 1695, Halley đã gửi bài báo toán học đầu tiên của de Moivre, xuất phát từ nghiên cứu về phép tính vi phân trong Principia Mathematica, cho Hội Hoàng gia. Bài báo này được xuất bản trên Philosophical Transactions cùng năm đó. Ngay sau khi xuất bản bài báo này, de Moivre cũng đã khái quát hóa định lý nhị thức đáng chú ý của Newton thành định lý đa thức. Hội Hoàng gia đã được biết đến phương pháp này vào năm 1697, và đã bầu de Moivre làm thành viên vào ngày 30 tháng 11 năm 1697.

Sau khi de Moivre được chấp nhận, Halley đã khuyến khích ông chuyển sự chú ý sang thiên văn học. Năm 1705, de Moivre đã phát hiện ra một cách trực quan rằng "lực hướng tâm của bất kỳ hành tinh nào tỷ lệ thuận với khoảng cách của nó đến tâm của các lực và tỷ lệ nghịch với tích của đường kính của đường tiến hóa và lập phương của đường vuông góc với tiếp tuyến." Nói cách khác, nếu một hành tinh M chuyển động theo quỹ đạo hình elip quanh tiêu điểm F và có một điểm P, trong đó PM là tiếp tuyến với đường cong và FPM là một góc vuông sao cho FP là đường vuông góc với tiếp tuyến, thì lực hướng tâm tại điểm P tỷ lệ thuận với FM/(R*(FP)³) trong đó R là bán kính cong tại M. Nhà toán học người Thụy Sĩ Johann Bernoulli đã chứng minh công thức này vào năm 1710.

Mặc dù đạt được những thành công này, de Moivre vẫn không thể được bổ nhiệm vào vị trí giáo sư toán học tại bất kỳ trường đại học nào, điều này sẽ giúp ông thoát khỏi sự phụ thuộc vào việc dạy kèm tốn nhiều thời gian, gây gánh nặng cho ông hơn hầu hết các nhà toán học khác cùng thời. Ít nhất một phần lý do là do định kiến chống lại nguồn gốc Pháp của ông.^[3]^[4]^[5]

Vào tháng 11 năm 1697, ông được bầu làm Thành viên của Hội Hoàng gia^[1] và năm 1712 được bổ nhiệm vào một ủy ban do hội thành lập, cùng với MM. Arbuthnot, Hill, Halley, Jones, Machin, Burnet, Robarts, Bonet, Aston và Taylor để xem xét các tuyên bố của Newton và Leibniz về người đã phát hiện ra phép tính vi phân và tích phân. Chi tiết đầy đủ về cuộc tranh cãi có thể được tìm thấy trong bài viết về cuộc tranh luận phép tính vi phân và tích phân giữa Leibniz và Newton.

Suốt cuộc đời, de Moivre vẫn nghèo khó. Có thông tin cho rằng ông là khách quen của Quán cà phê Old Slaughter's, đường St. Martin's Lane ở phố Cranbourn, nơi ông kiếm được chút tiền bằng cách chơi cờ.

Những năm cuối đời

De Moivre tiếp tục nghiên cứu các lĩnh vực xác suất và toán học cho đến khi qua đời vào năm 1754. Một số bài báo bổ sung đã được xuất bản sau khi ông mất. Khi càng lớn tuổi, ông càng trở nên uể oải và cần ngủ nhiều hơn. Người ta thường cho rằng De Moivre nhận thấy ông ngủ thêm 15 phút mỗi đêm và tính toán chính xác ngày mất của mình là ngày mà thời gian ngủ đạt 24 giờ, ngày 27 tháng 11 năm 1754.^[6] Vào ngày đó, ông thực sự đã qua đời, ở London và thi thể của ông được chôn cất tại St Martin-in-the-Fields, mặc dù sau đó thi thể của ông đã được di chuyển. Tuy nhiên, tuyên bố rằng ông dự đoán cái chết của chính mình đã bị tranh cãi vì không có tài liệu nào ghi lại điều đó vào thời điểm xảy ra.^[7]

Xác suất

De Moivre là người tiên phong trong việc phát triển hình học giải tích và lý thuyết xác suất bằng cách mở rộng công trình của những người tiền nhiệm, đặc biệt là Christiaan Huygens và một số thành viên của gia đình Bernoulli. Ông cũng đã viết cuốn sách giáo khoa thứ hai về lý thuyết xác suất, Học thuyết về cơ hội: một phương pháp tính toán xác suất của các sự kiện đang diễn ra. (Cuốn sách đầu tiên về các trò chơi may rủi, Liber de ludo aleae (Về việc tung xúc xắc), được Girolamo Cardano viết vào những năm 1560, nhưng mãi đến năm 1663 mới được xuất bản.) Cuốn sách này được xuất bản thành bốn phiên bản, năm 1711 bằng tiếng Latinh, và bằng tiếng Anh vào các năm 1718, 1738 và 1756. Trong các phiên bản sau này của cuốn sách, de Moivre đã đưa vào kết quả chưa được công bố của ông năm 1733, đó là tuyên bố đầu tiên về phép xấp xỉ phân phối nhị thức theo cái mà ngày nay chúng ta gọi là hàm chuẩn hoặc hàm Gauss.^[8] Đây là phương pháp đầu tiên tìm xác suất xảy ra lỗi có kích thước nhất định khi lỗi đó được biểu thị theo độ biến thiên của phân phối như một đơn vị, và là sự xác định đầu tiên về cách tính toán lỗi có thể xảy ra. Ngoài ra, ông đã áp dụng những lý thuyết này vào các vấn đề cờ bạc và bảng thống kê bảo hiểm.

Một biểu thức thường thấy trong xác suất là n! nhưng trước thời đại của máy tính, người ta đã tính n! Việc tính toán với n lớn rất tốn thời gian. Năm 1733, de Moivre đề xuất công thức ước tính giai thừa là n! = cn^(n + 1/2)e⁻ⁿ. Ông đã thu được một biểu thức gần đúng cho hằng số c nhưng chính James Stirling mới tìm ra c là √2 $π$ .^[9]

De Moivre cũng xuất bản một bài báo có tên "Annuities upon Lives" trong đó ông tiết lộ phân phối chuẩn của tỷ lệ tử vong theo độ tuổi của một người. Từ đó, ông đưa ra một công thức đơn giản để ước tính doanh thu được tạo ra từ các khoản thanh toán hàng năm dựa trên độ tuổi của một người. Điều này tương tự như các loại công thức được các công ty bảo hiểm sử dụng ngày nay.

Ưu tiên liên quan đến phân phối Poisson

Một số kết quả về phân phối Poisson lần đầu tiên được de Moivre giới thiệu trong De Mensura Sortis seu; de Probabilitate Eventuum in Ludis a Casu Fortuito Pendentibus trong Philosophical Transactions of the Royal Society, trang 219.^[10] Do đó, một số tác giả đã lập luận rằng phân phối Poisson nên mang tên de Moivre.^[11]^[12]

Công thức De Moivre

Năm 1707, de Moivre đã đưa ra một phương trình từ đó có thể suy ra:

\cos x={\tfrac {1}{2}}(\cos(nx)+i\sin(nx))^{1/n}+{\tfrac {1}{2}}(\cos(nx)-i\sin(nx))^{1/n}

mà ông có thể chứng minh cho tất cả các số nguyên dương n.^[13]^[14] Năm 1722, ông đã trình bày các phương trình từ đó người ta có thể suy ra dạng nổi tiếng hơn của Công thức de Moivre:

(\cos x+i\sin x)^{n}=\cos(nx)+i\sin(nx).\,

Năm 1749, Euler đã chứng minh công thức này cho bất kỳ số thực n nào bằng cách sử dụng công thức Euler, điều này khiến cho chứng minh trở nên khá đơn giản.^[15] Công thức này rất quan trọng vì nó liên hệ số phức và lượng giác. Ngoài ra, công thức này cho phép suy ra các biểu thức hữu ích cho cos(nx) và sin(nx) theo cos(x) và sin(x).

Ghi chú

1 2 3 O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Abraham de Moivre", Bộ lưu trữ lịch sử toán học MacTutor, Đại học St. Andrews
↑ Bellhouse, David R. (2011). Abraham De Moivre: Setting the Stage for Classical Probability and Its Applications. London: Taylor & Francis. tr. 99. ISBN 978-1-56881-349-3.
↑ Coughlin, Raymond F.; Zitarelli, David E. (1984). The ascent of mathematics. McGraw-Hill. tr. 437. ISBN 0-07-013215-1. Thật không may, vì không phải người Anh, De Moivre chưa bao giờ có thể có được một vị trí giảng dạy tại trường đại học
↑ Jungnickel, Christa; McCormmach, Russell (1996). Cavendish. Memoirs of the American Philosophical Society. Quyển 220. American Philosophical Society. tr. 52. ISBN 9780871692207. Dù có mối quan hệ rộng rãi trong giới toán học và được đánh giá cao về công trình nghiên cứu, ông vẫn không thể tìm được một công việc tốt. Ngay cả việc ông cải đạo sang Giáo hội Anh năm 1705 cũng không thể thay đổi sự thật rằng ông là người ngoại quốc.
↑ Tanton, James Stuart (2005). Encyclopedia of Mathematics. Infobase Publishing. tr. 122. ISBN 9780816051243. Ông từng hy vọng được nhận vào vị trí giảng viên toán học nhưng vì là người nước ngoài nên chưa bao giờ được đề nghị chức vụ đó.
↑ Cajori, Florian (1991). History of Mathematics (ấn bản thứ 5). Hội Toán học Hoa Kỳ. tr. 229. ISBN 9780821821022.
↑ "Biographical details – Did Abraham de Moivre really predict his own death?".
↑
See:
- Abraham De Moivre (12 tháng 11 năm 1733) "Approximatio ad summam terminorum binomii (a+b)ⁿ in seriem expansi" (tập sách nhỏ tự xuất bản), 7 trang.
- English translation: A. De Moivre, The Doctrine of Chances ... , 2nd ed. (London, England: H. Woodfall, 1738), pp. 235–243.
↑ Pearson, Karl (1924). "Historical note on the origin of the normal curve of errors". Biometrika. 16 (3–4): 402–404. doi:10.1093/biomet/16.3-4.402.
↑ Johnson, N.L., Kotz, S., Kemp, A.W. (1993) Univariate Discrete distributions (2nd edition). Wiley. ISBN 0-471-54897-9, p157
↑ Stigler, Stephen M. (1982). "Poisson on the poisson distribution". Statistics & Probability Letters. 1: 33–35. doi:10.1016/0167-7152(82)90010-4.
↑ Hald, Anders; de Moivre, Abraham; McClintock, Bruce (1984). "A. de Moivre:'De Mensura Sortis' or'On the Measurement of Chance'". International Statistical Review/Revue Internationale de Statistique. 1984 (3): 229–262. JSTOR 1403045.
↑
Moivre, Ab. de (1707). "Aequationum quarundam potestatis tertiae, quintae, septimae, nonae, & superiorum, ad infinitum usque pergendo, in termimis finitis, ad instar regularum pro cubicis quae vocantur Cardani, resolutio analytica" [Đối với một số phương trình bậc ba, bậc năm, bậc bảy, bậc chín và các bậc cao hơn, cho đến vô cùng, bằng cách tiến hành, trong các thuật ngữ hữu hạn, dưới dạng các quy tắc cho các phương trình bậc ba mà Cardano gọi là phép giải bằng phân tích.]. Philosophical Transactions of the Royal Society of London (bằng tiếng La-tinh). 25 (309): 2368–2371. doi:10.1098/rstl.1706.0037. S2CID 186209627.
- English translation by Richard J. Pulskamp (2009)
Trên trang 2370, de Moivre đã nêu rằng nếu một chuỗi có dạng $ny+{\tfrac {1-nn}{2\times 3}}ny^{3}+{\tfrac {1-nn}{2\times 3}}{\tfrac {9-nn}{4\times 5}}ny^{5}+{\tfrac {1-nn}{2\times 3}}{\tfrac {9-nn}{4\times 5}}{\tfrac {25-nn}{6\times 7}}ny^{7}+\cdots =a$ $ny+{\tfrac {1-nn}{2\times 3}}ny^{3}+{\tfrac {1-nn}{2\times 3}}{\tfrac {9-nn}{4\times 5}}ny^{5}+{\tfrac {1-nn}{2\times 3}}{\tfrac {9-nn}{4\times 5}}{\tfrac {25-nn}{6\times 7}}ny^{7}+\cdots =a$ , trong đó n là bất kỳ số nguyên lẻ nào (dương hoặc âm) và y và a có thể là các hàm, thì khi giải phương trình để tìm y, kết quả là phương trình (2) trên cùng trang: $y={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{n}]{a+{\sqrt {aa-1}}}}+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{n}]{a-{\sqrt {aa-1}}}}$ $y={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{n}]{a+{\sqrt {aa-1}}}}+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{n}]{a-{\sqrt {aa-1}}}}$ . If y = cos x and a = cos nx , then the result is $\cos x={\tfrac {1}{2}}(\cos(nx)+i\sin(nx))^{1/n}+{\tfrac {1}{2}}(\cos(nx)-i\sin(nx))^{1/n}$ $\cos x={\tfrac {1}{2}}(\cos(nx)+i\sin(nx))^{1/n}+{\tfrac {1}{2}}(\cos(nx)-i\sin(nx))^{1/n}$
- Năm 1676, Isaac Newton tìm ra mối quan hệ giữa hai dây cung có tỉ lệ n trên 1; mối quan hệ này được biểu thị bằng dãy số trên. Dãy số này xuất hiện trong một bức thư — Epistola prior D. Issaci Newton, Mathescos Professoris in Celeberrima Academia Cantabrigiensi; ... — ngày 13 tháng 6 năm 1676 từ Isaac Newton gửi Henry Oldenburg, thư ký của Hội Hoàng gia; một bản sao của bức thư đã được gửi cho Gottfried Wilhelm Leibniz. See p. 106 of: Biot, J.-B.; Lefort, F., biên tập (1856). Commercium epistolicum J. Collins et aliorum de analysi promota, etc: ou ... (bằng tiếng La-tinh). Paris, France: Mallet-Bachelier. tr. 102–112.
- Năm 1698, de Moivre đã đưa ra chuỗi tương tự. See: de Moivre, A. (1698). "A method of extracting roots of an infinite equation". Philosophical Transactions of the Royal Society of London. 20 (240): 190–193. doi:10.1098/rstl.1698.0034. S2CID 186214144.; see p 192.
- Năm 1730, de Moivre đã xem xét cụ thể trường hợp các hàm là cos θ và cos nθ. See: Moivre, A. de (1730). Miscellanea Analytica de Seriebus et Quadraturis (bằng tiếng La-tinh). London, England: J. Tonson & J. Watts. tr. 1. From p. 1: "Lemma 1. Si sint l & x cosinus arcuum duorum A & B, quorum uterque eodem radio 1 describatur, quorumque prior sit posterioris multiplex in ea ratione quam habet numerus n ad unitatem, tunc erit $x={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{n}]{l+{\sqrt {ll-1}}}}+{\tfrac {1}{2}}{\tfrac {1}{\sqrt[{n}]{l+{\sqrt {ll-1}}}}}$ ." (Nếu l và x là cosin của hai cung A và B, cả hai đều được mô tả bởi cùng một bán kính l, và cung A là bội số của cung B theo tỉ lệ n/1, thì [điều này sẽ đúng] $x={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{n}]{l+{\sqrt {ll-1}}}}+{\tfrac {1}{2}}{\tfrac {1}{\sqrt[{n}]{l+{\sqrt {ll-1}}}}}$ .) Vậy nếu cung A = n × cung B, thì l = cos A = cos nB và x = cos B. Do đó $\cos B={\tfrac {1}{2}}(\cos(nB)+{\sqrt {-1}}\sin(nB))^{1/n}+{\tfrac {1}{2}}(\cos(nB)+{\sqrt {-1}}\sin(nB))^{-1/n}$
Xem thêm:
- Cantor, Moritz (1898). Vorlesungen über Geschichte der Mathematik [Lectures on the History of Mathematics]. Bibliotheca mathematica Teuberiana, Bd. 8-9 (bằng tiếng Đức). Quyển 3. Leipzig, Germany: B.G. Teubner. tr. 624.
- Braunmühl, A. von (1901). "Zur Geschichte der Entstehung des sogenannten Moivreschen Satzes" [On the history of the origin of the so-called Moivre theorem]. Bibliotheca Mathematica. 3rd series (bằng tiếng Đức). 2: 97–102.; see p. 98.
↑ Smith, David Eugene (1984) [1959], A Source Book in Mathematics, Volume 3, Courier Dover Publications, tr. 444, ISBN 9780486646909
↑ Euler (1749). "Recherches sur les racines imaginaires des equations" [Investigations into the complex roots of equations]. Mémoires de l'académie des sciences de Berlin (bằng tiếng Pháp). 5: 222–288. See pp. 260–261: "Theorem XIII. §. 70. De quelque puissance qu'on extraye la racine, ou d'une quantité réelle, ou d'une imaginaire de la forme M + N √−1, les racines seront toujours, ou réelles, ou imaginaires de la même forme M + N √−1." (Theorem XIII. §. 70. For any power, either a real quantity or a complex [one] of the form M + N √−1, from which one extracts the root, the roots will always be either real or complex of the same form M + N√−1.)

Tham khảo

See de Moivre's Miscellanea Analytica (London: 1730) pp 26–42.
H. J. R. Murray, 1913. History of Chess. Oxford University Press: p 846.
Schneider, I., 2005, "The doctrine of chances" in Grattan-Guinness, I., ed., Landmark Writings in Western Mathematics. Elsevier: pp 105–20

Đọc thêm

"de Moivre, Abraham". Bản gốc lưu trữ ngày 19 tháng 12 năm 2007. Truy cập ngày 15 tháng 6 năm 2002.
"Abraham Demoivre" . Encyclopaedia Britannica. Quyển VII . 1875–1889. tr. 60.
The Doctrine of Chance at MathPages.
Biography (PDF), Matthew Maty's Biography of Abraham De Moivre, Translated, Annotated and Augmented.
de Moivre, On the Law of Normal Probability

[mactutor-1] 1 2 3 O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Abraham de Moivre", Bộ lưu trữ lịch sử toán học MacTutor, Đại học St. Andrews

[2] Bellhouse, David R. (2011). Abraham De Moivre: Setting the Stage for Classical Probability and Its Applications. London: Taylor & Francis. tr. 99. ISBN 978-1-56881-349-3.

[3] Coughlin, Raymond F.; Zitarelli, David E. (1984). The ascent of mathematics. McGraw-Hill. tr. 437. ISBN 0-07-013215-1. Thật không may, vì không phải người Anh, De Moivre chưa bao giờ có thể có được một vị trí giảng dạy tại trường đại học

[4] Jungnickel, Christa; McCormmach, Russell (1996). Cavendish. Memoirs of the American Philosophical Society. Quyển 220. American Philosophical Society. tr. 52. ISBN 9780871692207. Dù có mối quan hệ rộng rãi trong giới toán học và được đánh giá cao về công trình nghiên cứu, ông vẫn không thể tìm được một công việc tốt. Ngay cả việc ông cải đạo sang Giáo hội Anh năm 1705 cũng không thể thay đổi sự thật rằng ông là người ngoại quốc.

[5] Tanton, James Stuart (2005). Encyclopedia of Mathematics. Infobase Publishing. tr. 122. ISBN 9780816051243. Ông từng hy vọng được nhận vào vị trí giảng viên toán học nhưng vì là người nước ngoài nên chưa bao giờ được đề nghị chức vụ đó.

[Cajori-History-6] Cajori, Florian (1991). History of Mathematics (ấn bản thứ 5). Hội Toán học Hoa Kỳ. tr. 229. ISBN 9780821821022.

[hsmstex-7] "Biographical details – Did Abraham de Moivre really predict his own death?".

[8] See:
Abraham De Moivre (12 tháng 11 năm 1733) "Approximatio ad summam terminorum binomii (a+b)ⁿ in seriem expansi" (tập sách nhỏ tự xuất bản), 7 trang.

English translation: A. De Moivre, The Doctrine of Chances ... , 2nd ed. (London, England: H. Woodfall, 1738), pp. 235–243.

[mwAS8] Abraham De Moivre (12 tháng 11 năm 1733) "Approximatio ad summam terminorum binomii (a+b)ⁿ in seriem expansi" (tập sách nhỏ tự xuất bản), 7 trang.

[mwATE] English translation: A. De Moivre, The Doctrine of Chances ... , 2nd ed. (London, England: H. Woodfall, 1738), pp. 235–243.

[9] Pearson, Karl (1924). "Historical note on the origin of the normal curve of errors". Biometrika. 16 (3–4): 402–404. doi:10.1093/biomet/16.3-4.402.

[JKK157-10] Johnson, N.L., Kotz, S., Kemp, A.W. (1993) Univariate Discrete distributions (2nd edition). Wiley. ISBN 0-471-54897-9, p157

[11] Stigler, Stephen M. (1982). "Poisson on the poisson distribution". Statistics & Probability Letters. 1: 33–35. doi:10.1016/0167-7152(82)90010-4.

[12] Hald, Anders; de Moivre, Abraham; McClintock, Bruce (1984). "A. de Moivre:'De Mensura Sortis' or'On the Measurement of Chance'". International Statistical Review/Revue Internationale de Statistique. 1984 (3): 229–262. JSTOR 1403045.

[13] Moivre, Ab. de (1707). "Aequationum quarundam potestatis tertiae, quintae, septimae, nonae, & superiorum, ad infinitum usque pergendo, in termimis finitis, ad instar regularum pro cubicis quae vocantur Cardani, resolutio analytica" [Đối với một số phương trình bậc ba, bậc năm, bậc bảy, bậc chín và các bậc cao hơn, cho đến vô cùng, bằng cách tiến hành, trong các thuật ngữ hữu hạn, dưới dạng các quy tắc cho các phương trình bậc ba mà Cardano gọi là phép giải bằng phân tích.]. Philosophical Transactions of the Royal Society of London (bằng tiếng La-tinh). 25 (309): 2368–2371. doi:10.1098/rstl.1706.0037. S2CID 186209627.
English translation by Richard J. Pulskamp (2009)
Trên trang 2370, de Moivre đã nêu rằng nếu một chuỗi có dạng $ny+{\tfrac {1-nn}{2\times 3}}ny^{3}+{\tfrac {1-nn}{2\times 3}}{\tfrac {9-nn}{4\times 5}}ny^{5}+{\tfrac {1-nn}{2\times 3}}{\tfrac {9-nn}{4\times 5}}{\tfrac {25-nn}{6\times 7}}ny^{7}+\cdots =a$ , trong đó n là bất kỳ số nguyên lẻ nào (dương hoặc âm) và y và a có thể là các hàm, thì khi giải phương trình để tìm y, kết quả là phương trình (2) trên cùng trang: $y={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{n}]{a+{\sqrt {aa-1}}}}+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{n}]{a-{\sqrt {aa-1}}}}$ . If y = cos x and a = cos nx , then the result is $\cos x={\tfrac {1}{2}}(\cos(nx)+i\sin(nx))^{1/n}+{\tfrac {1}{2}}(\cos(nx)-i\sin(nx))^{1/n}$

Năm 1676, Isaac Newton tìm ra mối quan hệ giữa hai dây cung có tỉ lệ n trên 1; mối quan hệ này được biểu thị bằng dãy số trên. Dãy số này xuất hiện trong một bức thư — Epistola prior D. Issaci Newton, Mathescos Professoris in Celeberrima Academia Cantabrigiensi; ... — ngày 13 tháng 6 năm 1676 từ Isaac Newton gửi Henry Oldenburg, thư ký của Hội Hoàng gia; một bản sao của bức thư đã được gửi cho Gottfried Wilhelm Leibniz. See p. 106 of: Biot, J.-B.; Lefort, F., biên tập (1856). Commercium epistolicum J. Collins et aliorum de analysi promota, etc: ou ... (bằng tiếng La-tinh). Paris, France: Mallet-Bachelier. tr. 102–112.

Năm 1698, de Moivre đã đưa ra chuỗi tương tự. See: de Moivre, A. (1698). "A method of extracting roots of an infinite equation". Philosophical Transactions of the Royal Society of London. 20 (240): 190–193. doi:10.1098/rstl.1698.0034. S2CID 186214144.; see p 192.

Năm 1730, de Moivre đã xem xét cụ thể trường hợp các hàm là cos θ và cos nθ. See: Moivre, A. de (1730). Miscellanea Analytica de Seriebus et Quadraturis (bằng tiếng La-tinh). London, England: J. Tonson & J. Watts. tr. 1. From p. 1: "Lemma 1. Si sint l & x cosinus arcuum duorum A & B, quorum uterque eodem radio 1 describatur, quorumque prior sit posterioris multiplex in ea ratione quam habet numerus n ad unitatem, tunc erit $x={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{n}]{l+{\sqrt {ll-1}}}}+{\tfrac {1}{2}}{\tfrac {1}{\sqrt[{n}]{l+{\sqrt {ll-1}}}}}$ ." (Nếu l và x là cosin của hai cung A và B, cả hai đều được mô tả bởi cùng một bán kính l, và cung A là bội số của cung B theo tỉ lệ n/1, thì [điều này sẽ đúng] $x={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{n}]{l+{\sqrt {ll-1}}}}+{\tfrac {1}{2}}{\tfrac {1}{\sqrt[{n}]{l+{\sqrt {ll-1}}}}}$ .) Vậy nếu cung A = n × cung B, thì l = cos A = cos nB và x = cos B. Do đó $\cos B={\tfrac {1}{2}}(\cos(nB)+{\sqrt {-1}}\sin(nB))^{1/n}+{\tfrac {1}{2}}(\cos(nB)+{\sqrt {-1}}\sin(nB))^{-1/n}$
Xem thêm:
Cantor, Moritz (1898). Vorlesungen über Geschichte der Mathematik [Lectures on the History of Mathematics]. Bibliotheca mathematica Teuberiana, Bd. 8-9 (bằng tiếng Đức). Quyển 3. Leipzig, Germany: B.G. Teubner. tr. 624.

Braunmühl, A. von (1901). "Zur Geschichte der Entstehung des sogenannten Moivreschen Satzes" [On the history of the origin of the so-called Moivre theorem]. Bibliotheca Mathematica. 3rd series (bằng tiếng Đức). 2: 97–102.; see p. 98.

[mwAW4] English translation by Richard J. Pulskamp (2009)

[mwAlE] Năm 1676, Isaac Newton tìm ra mối quan hệ giữa hai dây cung có tỉ lệ n trên 1; mối quan hệ này được biểu thị bằng dãy số trên. Dãy số này xuất hiện trong một bức thư — Epistola prior D. Issaci Newton, Mathescos Professoris in Celeberrima Academia Cantabrigiensi; ... — ngày 13 tháng 6 năm 1676 từ Isaac Newton gửi Henry Oldenburg, thư ký của Hội Hoàng gia; một bản sao của bức thư đã được gửi cho Gottfried Wilhelm Leibniz. See p. 106 of: Biot, J.-B.; Lefort, F., biên tập (1856). Commercium epistolicum J. Collins et aliorum de analysi promota, etc: ou ... (bằng tiếng La-tinh). Paris, France: Mallet-Bachelier. tr. 102–112.

[mwAlw] Năm 1698, de Moivre đã đưa ra chuỗi tương tự. See: de Moivre, A. (1698). "A method of extracting roots of an infinite equation". Philosophical Transactions of the Royal Society of London. 20 (240): 190–193. doi:10.1098/rstl.1698.0034. S2CID 186214144.; see p 192.

[mwAmk] Năm 1730, de Moivre đã xem xét cụ thể trường hợp các hàm là cos θ và cos nθ. See: Moivre, A. de (1730). Miscellanea Analytica de Seriebus et Quadraturis (bằng tiếng La-tinh). London, England: J. Tonson & J. Watts. tr. 1. From p. 1: "Lemma 1. Si sint l & x cosinus arcuum duorum A & B, quorum uterque eodem radio 1 describatur, quorumque prior sit posterioris multiplex in ea ratione quam habet numerus n ad unitatem, tunc erit $x={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{n}]{l+{\sqrt {ll-1}}}}+{\tfrac {1}{2}}{\tfrac {1}{\sqrt[{n}]{l+{\sqrt {ll-1}}}}}$ ." (Nếu l và x là cosin của hai cung A và B, cả hai đều được mô tả bởi cùng một bán kính l, và cung A là bội số của cung B theo tỉ lệ n/1, thì [điều này sẽ đúng] $x={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{n}]{l+{\sqrt {ll-1}}}}+{\tfrac {1}{2}}{\tfrac {1}{\sqrt[{n}]{l+{\sqrt {ll-1}}}}}$ .) Vậy nếu cung A = n × cung B, thì l = cos A = cos nB và x = cos B. Do đó $\cos B={\tfrac {1}{2}}(\cos(nB)+{\sqrt {-1}}\sin(nB))^{1/n}+{\tfrac {1}{2}}(\cos(nB)+{\sqrt {-1}}\sin(nB))^{-1/n}$

[mwAyA] Cantor, Moritz (1898). Vorlesungen über Geschichte der Mathematik [Lectures on the History of Mathematics]. Bibliotheca mathematica Teuberiana, Bd. 8-9 (bằng tiếng Đức). Quyển 3. Leipzig, Germany: B.G. Teubner. tr. 624.

[mwAys] Braunmühl, A. von (1901). "Zur Geschichte der Entstehung des sogenannten Moivreschen Satzes" [On the history of the origin of the so-called Moivre theorem]. Bibliotheca Mathematica. 3rd series (bằng tiếng Đức). 2: 97–102.; see p. 98.

[14] Smith, David Eugene (1984) [1959], A Source Book in Mathematics, Volume 3, Courier Dover Publications, tr. 444, ISBN 9780486646909

[15] Euler (1749). "Recherches sur les racines imaginaires des equations" [Investigations into the complex roots of equations]. Mémoires de l'académie des sciences de Berlin (bằng tiếng Pháp). 5: 222–288. See pp. 260–261: "Theorem XIII. §. 70. De quelque puissance qu'on extraye la racine, ou d'une quantité réelle, ou d'une imaginaire de la forme M + N √−1, les racines seront toujours, ou réelles, ou imaginaires de la même forme M + N √−1." (Theorem XIII. §. 70. For any power, either a real quantity or a complex [one] of the form M + N √−1, from which one extracts the root, the roots will always be either real or complex of the same form M + N√−1.)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]