Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Trong giải tích toán học , các bất đẳng thức Agmon bao gồm hai bất đẳng thức nội suy có liên quan chặt chẽ giữa các không gian
L
∞
{\displaystyle L^{\infty }}
và không gian Sobolev
H
s
{\displaystyle H^{s}}
, rất hữu ích trong việc nghiên cứu các phương trình đạo hàm riêng . Kết quả này được đặt tên theo Shmuel Agmon , nhà toán học người Israel .[1]
Cho
u
∈
H
2
(
Ω
)
∩
H
0
1
(
Ω
)
{\displaystyle u\in H^{2}(\Omega )\cap H_{0}^{1}(\Omega )}
, trong đó
Ω
⊂
R
k
{\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{k}}
với
k
=
2
,
3
{\displaystyle k=2,3}
khi đó bất đẳng thức Agmon khẳng định tồn tại hằng số
C
{\displaystyle C}
sao cho
Trường hợp
k
=
2
{\displaystyle k=2}
:
‖
u
‖
L
∞
(
Ω
)
≤
C
‖
u
‖
L
2
(
Ω
)
1
/
2
‖
u
‖
H
2
(
Ω
)
1
/
2
{\displaystyle \|u\|_{L^{\infty }(\Omega )}\leq C\|u\|_{L^{2}(\Omega )}^{1/2}\|u\|_{H^{2}(\Omega )}^{1/2}}
Trường hợp
k
=
3
{\displaystyle k=3}
:
‖
u
‖
L
∞
(
Ω
)
≤
C
‖
u
‖
H
1
(
Ω
)
1
/
2
‖
u
‖
H
2
(
Ω
)
1
/
2
{\displaystyle \|u\|_{L^{\infty }(\Omega )}\leq C\|u\|_{H^{1}(\Omega )}^{1/2}\|u\|_{H^{2}(\Omega )}^{1/2}}
và
‖
u
‖
L
∞
(
Ω
)
≤
C
‖
u
‖
L
2
(
Ω
)
1
/
4
‖
u
‖
H
2
(
Ω
)
3
/
4
{\displaystyle \|u\|_{L^{\infty }(\Omega )}\leq C\|u\|_{L^{2}(\Omega )}^{1/4}\|u\|_{H^{2}(\Omega )}^{3/4}}
.
Đối với trường hợp tổng quát
n
−
{\displaystyle n-}
chiều: chọn
s
1
,
s
2
{\displaystyle s_{1},s_{2}}
sao cho
s
1
<
n
2
<
s
2
{\displaystyle s_{1}<{\frac {n}{2}}<s_{2}}
. Khi đó, nếu
0
<
θ
<
1
{\displaystyle 0<\theta <1}
và
n
2
=
θ
s
1
+
(
1
−
θ
)
s
2
{\displaystyle {\frac {n}{2}}=\theta s_{1}+(1-\theta )s_{2}}
, tồn tại hằng số
C
{\displaystyle C}
sao cho
‖
u
‖
L
∞
(
Ω
)
≤
C
‖
u
‖
H
s
1
(
Ω
)
θ
‖
u
‖
H
s
2
(
Ω
)
1
−
θ
{\displaystyle \|u\|_{L^{\infty }(\Omega )}\leq C\|u\|_{H^{s_{1}}(\Omega )}^{\theta }\|u\|_{H^{s_{2}}(\Omega )}^{1-\theta }}
với mọi
u
∈
H
s
2
(
Ω
)
{\displaystyle u\in H^{s_{2}}(\Omega )}
.
^ Lemma 13.2, in: Agmon, Shmuel, Lectures on Elliptic Boundary Value Problems , AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, 2010. ISBN 978-0-8218-4910-1.
Agmon, Shmuel (2010). Lectures on elliptic boundary value problems . Providence, RI: AMS Chelsea Publishing. ISBN 978-0-8218-4910-1 .
Foias, Ciprian; Manley, O.; Rosa, R.; Temam, R. (2001). Navier-Stokes Equations and Turbulence . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-36032-3 .