Bất đẳng thức Karamata

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm

Bất đẳng thức Karamata[1][2] là một bất đẳng thức được đặt tên theo nhà toán học Jovan Karamata[3]

Phát biểu[sửa | sửa mã nguồn]

Cho tập I là một khoảng trên trục số thực và f là lồi trên tập I. Nếu x1,..., xny1,..., yn là các số trong tập I nhưng (x1,..., xn) trội hơn (y1,..., yn), thì

 

 

 

 

(1)

Ở đây, trội hơn có nghĩa rằng

 

 

 

 

(2)

và, sau khi gắn nhãn lại các con số trong tập x1,..., xny1,..., yn, lần lượt theo thứ tự giảm dần,

    and    

 

 

 

 

(3)

chúng ta có

     cho tất cả i ∈ {1,..., n − 1}.

 

 

 

 

(4)

Nếu f  là một hàm lồi thực sự thì bất đẳng thức (1) sẽ nhận dấu bằng khi và chỉ khi việc gắn nhãn lại theo (3), chúng ta có xi = yi cho tất cả i ∈ {1,..., n}.

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ Kadelburg, Zoran; Đukić, Dušan; Lukić, Milivoje; Matić, Ivan (2005), “Inequalities of Karamata, Schur and Muirhead, and some applications” (PDF), The Teaching of Mathematics 8 (1): 31–45, ISSN 1451-4966 
  2. ^ Cao Văn Nuôi; Nguyễn Quang Thi (2008). “Về bất đẳng thức Karamata và ứng dụng” (PDF). Tạp chí Khoa học Công nghệ (Đại học Đà Nẵng) 6 (9). Truy cập ngày 2 tháng 4 năm 2013. 
  3. ^ Karamata, Jovan (1932), “Sur une inégalité rélative aux fonctions convexes” (PDF), Publ. Math. Univ. Belgrade (bằng tiếng Pháp) 1: 145–148, Zbl 0005.20101