Bất đẳng thức Jensen

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm
  1. Nếu f là một hàm lồi trên \mathbb{I}(a,b) thì với mọi x_1,x_2,\ldots,x_n \in \mathbb{I}(a,b) ta luôn có f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n) \ge nf(\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}).[1] Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x_1=x_2=\dots=x_n.
  2. Nếu f là một hàm lõm trên \mathbb{I}(a,b) thì với mọi x_1,x_2,\ldots,x_n \in \mathbb{I}(a,b) ta luôn cóf(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n) \le nf(\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}).[2] Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x_1=x_2=\dots=x_n.

Lưu ý: Nếu f là hàm liên tục trên \mathbb{I}(a,b) và có đạo hàm cấp hai trên \mathbb{I} thì f lồi khi ta có f'' (x)\ge 0, \forall x \in\mathbb{I}(a,b)f lõm khi ta có f'' (x)\le 0, \forall x \in\mathbb{I}(a,b).[1]

Ví dụ: f(x)=x^2 là hàm lồi.

Bất đẳng thức Jensen là trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức Karamata.

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ a ă Trang 44, Sáng tạo Bất đẳng thức, Phạm Kim Hùng, NXB Tri Thức, năm 2006.
  2. ^ Trang 45, Sáng tạo Bất đẳng thức, Phạm Kim Hùng, NXB Tri Thức, năm 2006.