Bất đẳng thức Schur

Bất đẳng thức Schur được phát biểu như sau:

Cho $a,b,c,t$ là các số thực không âm. Chứng minh rằng: $\sum \limits _{cyc}a^{t}(a-b)(a-c)\geqslant 0.$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$ hoặc hai trong số chúng bằng nhau và số còn lại bằng $0$

Ngoài ra khi $t$ là một số nguyên dương chẵn thì bất đẳng thức trên đúng với mọi số thực $a,\,b,\,c$

Chứng minh

Do vai trò của $a,\,b,\,c$ trong bài toán này là đối xứng nên không mất tính tổng quát, ta giả sử $a\geqslant b\geqslant c$ .

Trường hợp $t\geq 0$ , biến đổi vế trái của bất đẳng thức để được:

$\left(a-b\right)\left[a^{t}\left(a-c\right)-b^{t}\left(b-c\right)\right]+c^{t}\left(c-a\right)\left(c-b\right)\geqslant 0$

Điều trên hiển nhiên đúng vì mọi số hạng của vế trái đều không âm.

Trường hợp $t<0$ , tương tự:

$\left(b-c\right)\left[c^{t}\left(a-c\right)-b^{t}\left(a-b\right)\right]+a^{t}\left(a-b\right)\left(a-c\right)\geqslant 0$

Chứng minh đặc biệt với trường hợp $r=1$ thì:

Xét trường hợp $b=0,\,c=0$ thì bất đẳng thức đã cho tương đương với: $a^{3}\geqslant 0$ hay $a\geqslant 0$ (hiển nhiên đúng!)

Xét trường hợp $b+c>0$ và biến đổi vế trái của bất đẳng thức để được:

$a\left(a-b\right)\left(a-c\right)+b\left(b-c\right)\left(b-a\right)+c\left(c-a\right)\left(c-b\right)={\frac {\left(a-b\right)^{2}ab+\left(a-c\right)^{2}ac+\left(b-c\right)^{2}\left(a-b-c\right)^{2}}{b+c}}\geqslant 0$

Mở rộng

Tổng quát hóa bất đẳng thức Schur: Với $x,\,y,\,z$ là các số thực không âm, khi đó với $x\geqslant y\geqslant z$ và $a\geqslant b\geqslant c$ thì: