Biểu diễn nhóm

Biểu diễn của một nhóm "hành động" trên một đối tượng. Các ví dụ đơn giản nhất là cách các đối xứng của một đa giác thông thường, bao gồm các phép đối xứng trục và quay, biến đổi đa giác.

Trong lý thuyết biểu diễn, biểu diễn nhóm mô tả các nhóm trừu tượng theo các phép biến đổi tuyến tính (nghĩa là các tự đồng cấu) trên một không gian vectơ; đặc biệt, chúng có thể được sử dụng để biểu diễn các phần tử nhóm dưới dạng ma trận khả nghịch để toán tử nhân nhóm có thể được biểu diễn bằng phép nhân ma trận. Biểu diễn nhóm rất quan trọng vì chúng cho phép chuyển nhiều vấn đề trong lý thuyết nhóm về các vấn đề trong đại số tuyến tính. Chúng cũng quan trọng trong vật lý bởi vì, chẳng hạn chúng mô tả cách nhóm đối xứng của một hệ vật lý ảnh hưởng đến các nghiệm của phương trình mô tả hệ thống đó.

Thuật ngữ biểu diễn nhóm cũng được sử dụng theo nghĩa tổng quát hơn có nghĩa là bất kỳ "mô tả" nào của một nhóm như là một nhóm biến đổi của một số đối tượng toán học. Chính thức hơn, một biểu diễn là một đồng cấu từ nhóm sang nhóm tự đồng cấu của một đối tượng. Nếu đối tượng là một không gian vectơ, chúng ta có một biểu diễn tuyến tính.

Định nghĩa

Một biểu diễn của nhóm G trên một k-không gian véc-tơ V là một đồng cấu nhóm:

$\rho \colon G\to \mathrm {GL} (V)$

sao cho

$\rho (g_{1}g_{2})=\rho (g_{1})\rho (g_{2}),\qquad {\text{for all }}g_{1},g_{2}\in G.$

V được gọi là không gian biểu diễn và số chiều V được gọi là số chiều của biểu diễn. Một biểu diễn chung thủy là một biểu diễn sao cho đồng cấu G → GL(V) là một đơn ánh.

Ví dụ

Xét u = e^{2πi / 3} thỏa mãn u³ = 1. Nhóm cyclic C₃ = {1, u, u²} có một biểu diễn ρ trên C² được cho bởi:

$\rho \left(1\right)={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}\qquad \rho \left(u\right)={\begin{bmatrix}1&0\\0&u\\\end{bmatrix}}\qquad \rho \left(u^{2}\right)={\begin{bmatrix}1&0\\0&u^{2}\\\end{bmatrix}}.$

Biểu diễn này chung thủy.

Một biểu diễn khác của C₃ trên C², đẳng cấu với biểu diễn trên, là σ:

$\sigma \left(1\right)={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}\qquad \sigma \left(u\right)={\begin{bmatrix}u&0\\0&1\\\end{bmatrix}}\qquad \sigma \left(u^{2}\right)={\begin{bmatrix}u^{2}&0\\0&1\\\end{bmatrix}}.$

C₃ cũng có thể được biểu diễn chung thủy trên R² bởi τ:

$\tau \left(1\right)={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}\qquad \tau \left(u\right)={\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\\\end{bmatrix}}\qquad \tau \left(u^{2}\right)={\begin{bmatrix}a&b\\-b&a\\\end{bmatrix}}$

với

$a={\text{Re}}(u)=-{\tfrac {1}{2}},\qquad b={\text{Im}}(u)={\tfrac {\sqrt {3}}{2}}.$

Tham khảo

• Bản mẫu:Fulton-Harris. Introduction to representation theory with emphasis on Lie groups.
• Yurii I. Lyubich. Introduction to the Theory of Banach Representations of Groups. Translated from the 1985 Russian-language edition (Kharkov, Ukraine). Birkhäuser Verlag. 1988.