Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Trong toán học, Bất đẳng thức cộng Chebyshev, được đặt theo tên nhà toán học Pafnuty Lvovich Chebyshev, được phát biểu rằng: Nếu cho
![{\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7aa03d9b4fa8588835dae536d8b4a23ee2bf70f9)
và
![{\displaystyle b_{1}\geq b_{2}\geq \cdots \geq b_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2365287eac4662146947e3be79e915a7017ed3f6)
thì
![{\displaystyle {1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\geq \left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)\left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}b_{k}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d6a8849748c3055a5ca31db7110f9cc92efe8f)
Tương tự, nếu
![{\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7aa03d9b4fa8588835dae536d8b4a23ee2bf70f9)
và
![{\displaystyle b_{1}\leq b_{2}\leq \cdots \leq b_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ad6c7971460ceed9fa7e7fc3c97afec06be4261)
thì
![{\displaystyle {1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\leq \left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)\left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}b_{k}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eba58c029011a305b9c0d099d97fce54eb55986d)
Cách 1: Dùng bất đẳng thức hoán vị.
Giả sử ta có hai chuỗi số được cho như sau
![{\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{n}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/632ca435419c84ebf53e25168e4c889b7e148ce4)
và
![{\displaystyle b_{1}\geq b_{2}\geq \cdots \geq b_{n}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0cb7cd935a8d7e12fa14fad7e0bc90f92e8968e)
Vậy thì, theo bất đẳng thức hoán vị, ta có
![{\displaystyle a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d321304e5da32f7f0acb7b5f084142739d315bd)
là giá trị lớn nhất có thể sắp xếp được từ hai chuỗi số trên.
![{\displaystyle a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f85fd2f2e19aa3f56fcda4fd7e4365f2167b719b)
![{\displaystyle a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\geq a_{1}b_{2}+a_{2}b_{3}+\cdots +a_{n}b_{1}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/330627759dfb24aa22f6b0553f7b164349c79a14)
![{\displaystyle a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\geq a_{1}b_{3}+a_{2}b_{4}+\cdots +a_{n}b_{2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d06f3206b7ae346d9fd914ee0474e0b37413459)
![{\displaystyle \vdots \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea80b1745c934b5f0b44bfa1d72465dd8fd80a39)
![{\displaystyle a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\geq a_{1}b_{n}+a_{2}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n-1}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20ccb9986ef79ebcab952a279c3ff144b687e6cd)
Cộng vế theo vế, ta có:
![{\displaystyle n(a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n})\geq (a_{1}+\cdots +a_{n})(b_{1}+h}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5576a36c0530a2a3db5867b39ed84f77b7c72fb)
chia cả hai vế cho
, ta nhận được:
![{\displaystyle {\frac {(a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n})}{n}}\geq {\frac {(a_{1}+\cdots +a_{n})}{n}}\cdot {\frac {(b_{1}+\cdots +b_{n})}{n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22e3c521f055f727fe02a0284fe52f2ea75819eb)
(điều phải chứng minh)
Cách 2: Phép biến đổi tương đương:
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
(luôn đúng do
và
).
Vậy ta có điều phải chứng minh.