Chia thử

Chia thử hay Chia thử nghiệm là cách làm tốn công nhưng đơn giản dễ hiểu nhất trong các thuật toán phân tích số nguyên ra thừa số. Ý tưởng của phương pháp này là thực hiện hàng loạt các phép chia để xem với số nguyên n có chia hết cho lần lượt từng số tự nhiên nhỏ hơn giá trị tuyệt đối của n hay không. Ví dụ với n = 12 sẽ chia hết cho 1, 2, 3, 4, 6, 12. Tối giản thành các thừa số số nguyên tố sẽ thu được 12 = 3 × 4 = 3 × 2² .

Chia thử được Fibonacci lần đầu tiên mô tả trong cuốn Liber Abaci (1202).

Phương pháp

Cho trước một số nguyên dương n, cách chia thử sẽ kiểm tra một cách có hệ thống xem n có chia hết cho bất kỳ số nhỏ hơn n. Phép thử sẽ lấy tăng dần số chia k bắt đầu từ 2 trở lên. Nếu n không chia hết cho k thì cũng không chia hết cho các bội số của k và sẽ không cần kiểm tra, ví dụ nếu đã không chia hết cho 2 thì không cần thử phép chia với 4 hoặc 6. Như vậy, phép thử có thể được giảm bớt khi chọn số chia là số nguyên tố. Ngoài ra, số chia cũng chỉ cần thử khi nhỏ hơn $\scriptstyle {\sqrt {n}}$ vì nếu n chia hết p, thì n = p × q và nếu q nhỏ hơn p thì đã được phát hiện khi cho q rồi. Nếu n là số chính phương thì căn bậc hai của n cũng là một thừa số dùng làm giới hạn trên cho phép thử.

Cũng có thể dùng thừa số nguyên tố để xác định giới hạn thử nghiệm chặt hơn. Giả sử P_i là số nguyên tố thứ i, nghĩa là P ₁ = 2, P ₂ = 3, P ₃ = 5,... Nếu P_i là số cuối cùng dùng trong phép thử cho n thì P²_i + 1 > n nên P_i + 1 chính là giới hạn không cần thử. Ví dụ n = 48 thì chỉ cần thử chia cho 2, 3 và 5 là đủ vì bình phương của số nguyên tố tiếp theo là P²₄ =7²=49 lớn hơn 48 rồi, hoặc n < 25 thì chỉ cần thử chia cho 2 và 3 là đủ.

Đây là một ví dụ của thuật toán chia thử, sử dụng các số tự nhiên liên tiếp thành các số để thử, như sau (trong Python):

def trial_division(n: int) -> List[int]:
    """Trả ra một danh sách các thừa số nguyên tố cho một số tự nhiên."""
    a = []               # Chuẩn bị một danh sách trống.
    f = 2                # Ước số có thể đầu tiên.    
    while n > 1:         # Khi n vẫn còn ước số...
        if n % f == 0:   # Số dư là n chia cho f có thể là 0.        
            a.append(f)  # Nếu cho n chia cho nó, ra kết quả 0. Thêm f vào danh sách.
            n //= f       # Chia ước số trên cho n.
        else:            # Nếu n không phải ước của n,
            f += 1       # Thêm 1 vào f và thử lại.
    return a             # Các ước nguyên tố có thể lặp lại: 12 phân tích ra 2,2,3.

Cách khác hiệu quả hơn gấp đôi:

def trial_division(n: int) -> List[int]:
    a = []
    while n % 2 == 0:
        a.append(2)
        n //= 2
    f = 3
    while f * f <= n:
        if n % f == 0:
            a.append(f)
            n //= f
        else:
            f += 2
    if n != 1: a.append(n)
    # Chỉ có số lẻ là có thể
    return a

Cách chia thử như thế này được đảm bảo tìm ra tất cả ước số của n, nếu n là số nguyên tố thì phép thử có thể chạy đến n. Do đó, nếu thuật toán chỉ tìm thấy một ước số (lớn hơn 1) thì chứng tỏ n là số nguyên tố. Nếu tìm thấy nhiều hơn thì n là hợp số.

Tham khảo

• Childs, Lindsay N. (2009). A concrete introduction to higher algebra. Undergraduate Texts in Mathematics (ấn bản 3). New York, NY: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-74527-5. Zbl 1165.00002.
• Crandall, Richard; Pomerance, Carl (2005). Prime numbers. A computational perspective (ấn bản 2). New York, NY: Springer-Verlag. ISBN 0-387-25282-7. Zbl 1088.11001.

Liên kết ngoài

• Phân tích thừa số nguyên tố nhanh dùng JavaScript bằng chia thử Lưu trữ 2021-12-18 tại Wayback Machine.(tiếng Anh) Có thể xử lý các số lên đến khoảng 2⁵³
• Chia thử bằng Java, C và JavaScript (tiếng Bồ Đào Nha)