Dao động tử điều hòa

Một số quỹ đạo của một dao động tử điều hòa theo luật của Newton của cơ học cổ điển (A–B), và theo Schrödinger phương trình của cơ học lượng tử (C–H). Trong A–B, các hạt (đại diện như một bóng gắn vào một mùa xuân) dao động lại. Ở C–H, một số giải pháp cho các Phương trình Schrödinger được thể hiện, nơi trục ngang là vị trí dọc thực sự là một phần (màu xanh) hay tưởng tượng một phần (đỏ) của hàm sóng. C, D, E, F, nhưng không G, H, được năng lượng eigenstates. H là một mạch lạc nước—một trạng thái lượng tử thành cổ điển quỹ đạo.

Các dao động tử điều hòa là lượng tử cơ học tương tự của các dao động điều hòa trong lĩnh vực Vật lý. Bởi vì một tùy ý tiềm năng thường có thể được coi như là một sự hài hòa tiềm năng tại khu vực của một ổn định điểm cân bằng, đó là một trong những quan trọng nhất mẫu hệ thống ở cơ học lượng tử. Hơn nữa, một trong số ít lượng tử-hệ thống cơ khí mà một tính toán chính xác, được phân tích giải pháp được biết đến.

Một chiều dao động tử điều hòa

Hamilton và Năng lượng eigenstates

Hàm sóng đại diện cho tám ràng buộc eigenstates, n = 0 đến 7. Trục ngang cho thấy các vị trí x. Chú ý: tốt không bình thường, và các dấu hiệu của một số các chức năng khác nhau từ những người đưa ra trong văn bản.

Tương ứng với xác suất mật độ.

Các Hamilton của hạt là:

Công thức như sau

${\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}k{\hat {x}}^{2}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}{\hat {x}}^{2}\,,$

Một người có thể viết thời gian độc lập phương trình Schrödinger,

${\hat {H}}\left|\psi \right\rangle =E\left|\psi \right\rangle ~,$

Các chức năng H_n là các nhà vật lý' Nhất đa thức,

$H_{n}(z)=(-1)^{n}~e^{z^{2}}{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\left(e^{-z^{2}}\right).$

Tương ứng năng lượng được

$E_{n}=\hbar \omega \left(n+{1 \over 2}\right)=(2n+1){\hbar \over 2}\omega ~.$

Thang điều hành phương pháp

Xác suất mật độ |ψ_n(x)|² cho những ràng buộc eigenstates, bắt đầu với đất nước (n = 0) xuống phía dưới và tăng năng lượng tới mức đỉnh. Trục ngang cho thấy các vị trí x, và sáng, màu sắc đại diện cho xác suất cao hơn mật độ.

Các "thang điều hành" phương pháp, được phát triển bởi Paul Dirac, cho phép tìm lời giải cho vấn đề năng lượng với giá trị riêng mà trực tiếp giải quyết các phương trình vi phân. Đó là khái quát cho một công thức phức tạp, đặc biệt là trong lĩnh vực lượng tử lý thuyết. Sau này, chúng tôi xác định khai thác a và nó liên hợp a^†,

${\begin{aligned}a&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left({\hat {x}}+{i \over m\omega }{\hat {p}}\right)\\a^{\dagger }&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left({\hat {x}}-{i \over m\omega }{\hat {p}}\right)\end{aligned}}$

This leads to the useful representation of ${\hat {x}}$ and ${\hat {p}}$,

${\begin{aligned}{\hat {x}}&={\sqrt {{\frac {\hbar }{2}}{\frac {1}{m\omega }}}}(a^{\dagger }+a)\\{\hat {p}}&=i{\sqrt {{\frac {\hbar }{2}}m\omega }}(a^{\dagger }-a)~.\end{aligned}}$

The operator a is not Hermitian, since itself and its adjoint a^† are not equal. The energy eigenstates Bản mẫu:Ket, when operated on by these ladder operators, give

${\begin{aligned}a^{\dagger }|n\rangle &={\sqrt {n+1}}|n+1\rangle \\a|n\rangle &={\sqrt {n}}|n-1\rangle .\end{aligned}}$

Liên kết ngoài

• Điều Hòa Lượng Tử Dao Động
• Lý do cho lựa chọn thang khai thác
• Sống 3D cường độ âm mưu của lượng dao động điều hòa
• Hướng và hãm lượng dao động điều hòa (bài giảng của nhiên "quang học lượng tử trong các mạch điện")