Khối đa diện đều Platon

Trong hình học không gian, khối đa diện Platon là một khối đa diện lồi, có tất cả các mặt là các đa giác đều, với mỗi đỉnh của đa diện là đỉnh chung của một số lượng đa giác giống nhau cho mọi đỉnh. Trên thực tế chỉ có đúng 5 đa diện đều Platon đó là tứ diện đều (tetrahedron), hình lập phương (hexahedron), bát diện đều (octahedron), mười hai mặt đều (dodecahedron) và hai mươi mặt đều (icosahedron).

Những khối đa diện trên đã được nghiên cứu trong hàng ngàn năm.^[1] Chúng được đặt tên theo nhà triết học, khoa học Hy Lạp cổ đại Platon.

Lịch sử

Các đa diện đều Platon được biết đến từ rất sớm trong thời kì cổ đại. Vào cuối thời đại đồ đá mới, trên những khối đá hình cầu ở Scottland có những núm tròn thể hiện yếu tố liên quan tới các đa diện đều này.

Những người Hy Lạp cổ đại nghiên cứu rất nhiều về các khối Platon. Một số người, như Proclus, tin rằng Pythagoras đã từng nghiên cứu chúng; nhưng có bằng chứng cho rằng ông chỉ quen với tứ diện đều, khối lập phương và khối 12 mặt đều, còn bát diện đều và khối 20 mặt đều là do Theaetetus, một nhà toán học cùng thời với Platon, khám phá ra. Theaetetus cũng được cho là người đã mô tả một cách toán học cả 5 loại đa diện và được cho là có liên quan tới chứng minh đầu tiên chỉ có 5 loại khối đa diện đều Platon.

Những khối đa diện này, như tên gọi, có liên quan chặt chẽ tới triết lý của Platon. Ông đề cập đến chúng trong cuộc đối thoại Timaeus vào khoảng những năm 360 TCN, trong đó ông liên kết 4 khối với 4 nguyên tố cổ điển gồm Trái Đất, không khí, nước và lửa. Riêng với khối 12 mặt đều, ông nhận xét rằng "...vị thần đã sử dụng [nó] để sắp xếp các chòm sao trên toàn bộ thiên đường". Aristoteles thêm bầu trời là nguyên tố cổ điển thứ 5, nhưng không có mối liên kết rõ ràng giữa điều này và khối 12 mặt đều mà Platon đã nhắc tới.

Các khối Platon trong tác phẩm Harmonice Mundi của Kepler.^[2]

Trong quyển XIII, quyển cuối cùng của bộ sách Cơ sở, Euclid đã mô tả hoàn toàn về mặt toán học các khối đa diện này, chúng được cho là dựa trên mô tả của Theaetetus. Lập luận chỉ có đúng 5 khối đa diện đều Platon được đề cập trong định lý thứ 18.

Vào thế kỷ XVI, nhà thiên văn học người Đức Johannes Kepler cố gắng liên hệ năm người ngoài hành tinh được biết đến vào thời điểm đó với năm khối Platon. Trong cuốn Bí ẩn vũ trụ (1956), ông đề xuất một mô hình Hệ Mặt Trời cho thấy năm khối Platon được đặt lồng nhau, ngăn cách bởi các khối cầu nội và ngoại tiếp. Ý tưởng trên sau này bị bác bỏ, nhưng những nghiên cứu này đã giúp ông xây dựng lên các định luật về chuyển động thiên thể, trong đó nổi bật nhất là chứng minh quỹ đạo của các hành tinh là hình elip chứ không phải hình tròn.^[3]

Thuộc tính

Một khối đa diện lồi là một khối đa diện đều Platon khi đáp ứng cả ba tính chất sau đây:

Tất cả các mặt phải là cùng một đa giác lồi, đều và giống nhau.
Các mặt chỉ được giao nhau ở các cạnh chung.
Mỗi đỉnh là đỉnh chung của một số mặt bằng nhau.

Do đó, mỗi khối Platon có thể được gắn với một cặp số tự nhiên { $p,q$ }, trong đó $p$ là số cạnh (hoặc số đỉnh) của từng mặt, còn $q$ là số mặt giao nhau tại một đỉnh. Dạng ký hiệu khối trên còn được gọi là ký hiệu Schläfli và được thể hiện trong bảng sau:

Khối đa diện đều Platon	Số đỉnh ( $V$ )	Số cạnh ( $E$ )	Số mặt ( $F$ )	Ký hiệu Schläfli	Cấu hình đỉnh^[4]
Tứ diện đều	4	6	4	{3, 3}	3.3.3
Lập phương	8	12	6	{4, 3}	4.4.4
Bát diện đều	6	12	8	{3, 4}	3.3.3.3
Khối 12 mặt đều	20	30	12	{5, 3}	5.5.5
Khối 20 mặt đều	12	30	20	{3, 5}	3.3.3.3.3

Từ ký hiệu Schläfli, người ta có thể suy ngược ra số đỉnh, cạnh, mặt của một khối Platon thông qua công thức: $pF=2E=qV$ .

Mỗi quan hệ nổi tiếng $V-E+F=2$ còn được biết đến với cái tên Đặc trưng Euler.

Điều đáng nói là khi tráo đổi $p$ và $q$ cho nhau, chỉ có $V$ và $F$ thay đổi, trong khi $E$ không đổi.

Chứng minh chỉ có đúng 5 khối đa diện đều lồi

Từ các công thức $pF=2E=qV$ và $V-E+F=2$ đã được đề cập ở trên, ta được:

\quad \quad {\frac {2E}{q}}-E+{\frac {2E}{p}}=2

\Rightarrow {\frac {1}{q}}+{\frac {1}{p}}-{\frac {1}{2}}={\frac {1}{E}}

\Rightarrow {\frac {1}{q}}+{\frac {1}{p}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{E}}

Rõ ràng $E>0$ , nên ${\frac {1}{q}}+{\frac {1}{p}}>{\frac {1}{2}}$ . Điều này buộc cả $p$ và $q$ phải có ít nhất một số nhỏ hơn 4. Lưu ý rằng cả $p$ và $q$ cũng không thể nhỏ hơn hoặc bằng 2 vì tính chất hình học của nó.
Với $p=3$ , khi đó $q<6$ . Các giá trị của $q$ còn lại (3, 4 và 5) tạo ra ba cặp số {3, 3}, {3, 4} và {3, 5}.

Với $p=4$ hoặc $p=5$ , khi đó $q<4$ . Suy ra $q=3$ và ta được hai cặp số còn lại là {4, 3} và {5, 3}.

Với $p\geq 6$ , khi đó $q<3$ (không tồn tại số $q$ tự nhiên thoả mãn).

Trong tự nhiên

*Circogonia icosahedra*, một loài trùng tia, có hình dạng như một khối 20 mặt đều.

Các khối tứ diện đều, lập phương và bát diện đều có trong tự nhiên dưới dạng các cấu trúc tinh thể. Trong tự nhiên khối mười hai mặt đều không tồn tại trong các dạng tinh thể nhưng dạng pyritohedron (khối mười hai mặt không đều có dạng như khối mười hai mặt đều nhưng các mặt bên không đều) méo mó xảy ra trong tinh thể Pyrit.

Trong những năm đầu thế kỷ 20, Ernst Haeckel mô tả một số loài trùng tia, một số có khung xương được hình thành như các khối đa diện đều, ví dụ như Circoporus octahedrus, Circogonia icosahedra, Lithocubus geometricus và Circorrhegma dodecahedra.^[5]

Nhiều virus, chẳng hạn như Herpes đơn dạng, có hình dạng của một khối 20 mặt đều. Lý do là bởi cấu trúc của virus là sự lặp lại các cấu trúc protein đơn vị, và khối 20 mặt đều là cách đơn giản nhất để thực hiện điều này; ngoài ra điều này còn giúp tiết kiệm không gian của bộ gen virus.

Trong khí tượng học và khí động học, các mô hình số toàn cầu về dòng khí quyển đang dần chuyển từ sử dụng lưới theo kinh độ-vĩ độ sang lưới theo khối 20 mặt đều nhằm có sự phân bố đều và tránh điểm kỳ dị.

Các cạnh của các khối đa diện Platon còn được tìm thấy trong các cấu hình phân tử không gian (chẳng hạn như một số Hydrocarbon như cuban hay dodecahedrane).

Trong hệ thống MERO, các khối đa diện Platon được sử dụng để đặt tên quy ước cho các cấu hình khung không gian khác nhau. Ví dụ,

${\tfrac {1}{2}}O+T$ đề cập đến cấu hình được tạo thành từ một nửa khối bát diện và một khối tứ diện.

Với các tinh thể lỏng, Hagen Kleinert và K. Maxi đã từng đề xuất về sự tồn tại các cấu trúc đối xứng vào năm 1981.^[6]^[7] Cấu trúc dạng khối 20 mặt đều được Dan Shechtman phát hiện trong nhôm, đem đến cho ông giải Nobel Hoá học năm 2011.

Trong văn hoá

Giải trí

Các khối Platon đã được sử dụng trong một số trò chơi như xúc xắc (mà phổ biến nhất là xúc xắc 6 mặt hình lập phương) hay rubik.

Rubik tam giác

Rubik 2x2x2

Rubik bát diện đều

Khối Megamix

Rubik hai mươi mặt đều

Xây dựng

Các đa diện Platon thường được sử dụng cho nhiều loại kiến trúc như các hình dưới, ngoài ra từ các hình dạng này mà người ta còn có thể dễ dàng tạo nên các công trình có những hình dạng khác như hình cầu, hình trụ, hình nón hay hình kim tự tháp vuông, với khung cốt từ các cạnh của các khối đa diện trên.^[8]

Một khối gương 20 mặt đều đặt trong đài tưởng niệm Baruch Spinoza tại Amsterdam, Hà Lan
Khối lập phương năng lượng mặt trời đặt tại Quận Cam, California
Một khối bát diện đều đang được xây dựng ở Áo
Một khung tứ diện đều ở Bottrop, Đức
Khối 12 mặt đều đặt tại Budapest, Hungary

Tham khảo

↑ Zeyl, Donald (2019). "Plato's Timaeus". The Stanford Encyclopedia of Philosophy.
↑ Cromwell 1997, tr. 55.
↑ Olenick, Apostol & Goodstein 1986, tr. 434–436.
↑ Cấu hình đỉnh cho biết mỗi đỉnh là đỉnh chung của các loại mặt nào. Ví dụ với tứ diện đều, cấu hình đỉnh 3.3.3 cho biết mỗi đỉnh là đỉnh chung của 3 (số lượng số trong cấu hình) tam giác (mỗi số 3 trong cấu hình).
↑ Haeckel, Ernst, E. (1904). Kunstformen der Natur. Available as Haeckel, E. (1998); Art forms in nature, Prestel USA. ISBN 3-7913-1990-6.
↑ Kleinert & Maki 1981.
↑ "Home | The Seideman Group". sites.northwestern.edu.
↑ Gelernter 1995, tr. 172-173.

Lưu trữ ngày 22 tháng 11 năm 2011 tại Wayback Machine
Lưu trữ ngày 3 tháng 2 năm 2014 tại Wayback Machine

Liên kết ngoài

Weisstein, Eric W., "Platonic solid", MathWorld.
Book XIII of Euclid's Elements.
Interactive 3D Polyhedra Lưu trữ ngày 3 tháng 4 năm 2005 tại Wayback Machine in Java
Interactive 3D Octahedron Lưu trữ ngày 9 tháng 9 năm 2012 tại Wayback Machine
Interactive Folding/Unfolding Platonic Solids Lưu trữ ngày 9 tháng 2 năm 2007 tại Wayback Machine in Java
Paper models of the Platonic solids created using nets generated by Stella software
Platonic Solids Free paper models(nets)
Platonic Solids for Meditation Lưu trữ ngày 25 tháng 5 năm 2012 tại Wayback Machine platonic solids used for meditation and healing
Teaching Math with Art student-created models
Teaching Math with Art teacher instructions for making models
Frames of Platonic Solids images of algebraic surfaces
Platonic Solids with some formula derivations

[The_Stanford_Encyclopedia_of_Philosophy-1] Zeyl, Donald (2019). "Plato's Timaeus". The Stanford Encyclopedia of Philosophy.

[FOOTNOTECromwell1997[httpsarchiveorgdetailspolyhedra0000crompage55_55]-2] Cromwell 1997, tr. 55.

[FOOTNOTEOlenickApostolGoodstein1986434–436-3] Olenick, Apostol & Goodstein 1986, tr. 434–436.

[4] Cấu hình đỉnh cho biết mỗi đỉnh là đỉnh chung của các loại mặt nào. Ví dụ với tứ diện đều, cấu hình đỉnh 3.3.3 cho biết mỗi đỉnh là đỉnh chung của 3 (số lượng số trong cấu hình) tam giác (mỗi số 3 trong cấu hình).

[5] Haeckel, Ernst, E. (1904). Kunstformen der Natur. Available as Haeckel, E. (1998); Art forms in nature, Prestel USA. ISBN 3-7913-1990-6.

[FOOTNOTEKleinertMaki1981-6] Kleinert & Maki 1981.

[7] "Home | The Seideman Group". sites.northwestern.edu.

[FOOTNOTEGelernter1995172-173-8] Gelernter 1995, tr. 172-173.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

Cơ sở dữ liệu tiêu đề chuẩn
Quốc tế	GND
Khác	Yale LUX