Phát biểu toán học của cơ học lượng tử

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm

Phát biểu toán học của cơ học lượng tử là các hình thức toán học cho phép mô tả chặt chẽ cơ học lượng tử.

Các tiên đề[sửa | sửa mã nguồn]

Tiên đề 1[sửa | sửa mã nguồn]

Nội dung của tiên đề 1 nói về các đại lượng quan sát được và các toán tử:

Mỗi đại lượng quan sát được, hay biến số động lực, A trong cơ học lượng tử tương ứng với một toán tử sao cho phép đo A thu được giá trị a là các giá trị riêng của , nghĩa là các giá trị a là những giá trị mà phương trình trị riêng có nghiệm ; khi đó hàm riêng của toán tử tương ứng với trị riêng a[1].
Ví dụ thứ nhất[sửa | sửa mã nguồn]

Toán tử xung lượng . Xét hạt chuyển động một chiều trên trục . Khi đó

và phương trình trị riêng của toán tử xung lượng là

,

trong đó là các giá trị khả dĩ mà ta sẽ thu được khi đo thành phần trên trục của xung lượng; hàm sóng tương ứng với một giá trị xác định của xung lượng là hàm mà là xác suất tìm thấy hạt với xung lượng trong khoảng .

Giả sử hạt tự do (không có điều kiện biên) khi đó ta có nghiệm

,

trong đó số sóng , như vậy là hàm tuần hoàn theo .

Ta hãy tìm bước sóng :

,

tức là

(hệ thức De Broglie , trong đó tần số góc , vector sóng , mỗi phôton có năng lượng và xung lượng )

Ta thấy rằng hàm riêng của toán tử xung lượng tương ứng với trị riêng có bước sóng là bước sóng De Broglie .

Vậy hàm riêng và trị riêng của toán tử xung lượng là

Ví dụ thứ hai[sửa | sửa mã nguồn]

Toán tử tương ứng với năng lượng là toán tử năng lượng hay toán tử Hamilton , trong đó được thay bởi .

Toán tử năng lượng của hạt có khối lượng trong trường thế

Phương trình trị riêng có dạng

Đây chính là phương trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian.

Xét hạt tự do:

Đối với hạt tự do[2] một chiều, ta có phương trình trị riêng

Đặt ( được gọi là số sóng), ta có phương trình

Do không có điều kiện ban đầu nên

là hàm riêng của toán tử tương ứng với trị riêng năng lượng .

Ta nhận thấy rằng hàm ứng với cũng là hàm riêng của toán tử xung lượng .

Việc hai toán tử của một hạt tự do có chung hàm riêng là một trường hợp đặc biệt của một định lí tổng quát hơn.

Tiếp theo ta hãy chứng minh rằng nếu là hàm riêng của thì cũng là hàm riêng của .

Do là hàm riêng của nên ta có:

Do đó

tức là cũng là hàm riêng của .

Cả năng lượng và xung lượng của hạt tự do có các giá trị liên tục

nghĩa là chúng là trị riêng của bất cứ số sóng nào.

Hàm riêng tương ứng là

Nếu hạt tự do ở trạng thái này thì phép đo xung lượng chắc chắn được giá trị , phép đo năng lượng chắc chắn được giá trị .

Giả sử ta đo vị trí của hạt. Hạt sẽ ở đâu?

Theo Born, khi hạt ở trạng thái được mô tả bởi hàm sóng thì mật độ xác suất liên quan tới xác suất tìm thấy hạt trong khoảng . Mật độ xác suất cùng bằng một hằng số cho mọi . Vậy xác suất tìm thấy hạt ở bất cứ vị trí nào là như nhau.

Tiên đề 2[sửa | sửa mã nguồn]

Nội dung của tiên đề 2 nói về phép đo trong cơ học lượng tử:

Phép đo[3] biến số động lực thu được giá trị đưa hệ về trạng thái , trong đó là hàm riêng của toán tử tương ứng với trị riêng [4].

Ví dụ:

Hạt tự do chuyển động một chiều. Ta không biết hạt đang ở trong trạng thái nào, ở một thời điểm bất kỳ ta đo xung lượng của hạt và đạt được giá trị . Phép đo này đưa hệ về trạng thái , phép đo xung lượng sau đó chắc chắn thu được giá trị .

Giả sử, ta đo vị trí của một hạt tự do và đo được vị trí . Từ 2 tiên đề suy ra

(1) Có một toán tử tương ứng với phép đo được vị trí .

(2) Đo được giá trị đưa hạt về hàm riêng của toán tử tương ứng với trị riêng .

Ta có phương trình trị riêng

trong đó là hàm delta Dirac.

Tiên đề 3[sửa | sửa mã nguồn]

(Thiết lập sự tồn tại của hàm trạng thái và mối liên hệ của nó với các tính chất của một hệ)

Nội dung:

Trạng thái của hệ ở một thời điểm bất kỳ được biểu diễn bởi một hàm trạng thái hay hàm sóng liên tục và khả tích. Tất cả thông tin liên quan đến trạng thái của hệ được chứa đựng trong hàm sóng.[5]

Cụ thể, nếu hệ ở trạng thái thì giá trị trung bình của biến số động lực bất kỳ liên quan tới thời điểm

trong đó là vi phân thể tích, giá trị kỳ vọng của biến số động lực .

Ý nghĩa vật lí của giá trị trung bình biến số động lực :

Biến số động lực được đo trong một thí nghiệm xác định . Người ta chuẩn bị một số lượng rất lớn các phép lặp của , các trạng thái đầu của mọi phép lặp đều như nhau. Ở thời điểm , đo trong tất cả các thí nghiệm lặp và thu được tập giá trị . Suy ra

Tiên đề 3 nói rằng giá trị trung bình tính được trong thí nghiệm bằng giá trị trung bình cho bởi tích phân.

Tiên đề 4[sửa | sửa mã nguồn]

Nội dung của tiên đề 4 là về sự tiến triển theo thời gian của hàm trạng thái:

Hàm trạng thái[6] của một hệ tiến triển theo thời gian theo phương trình

Đây chính là phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian.[7]

Toán tử năng lượng của hạt có khối lượng trong trường thế

Giả sử không phụ thuộc :

Trong trường hợp này ta có thể tìm nghiệm của phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian nhờ kỹ thuật tách biến:

Kết quả ta tìm được phần phụ thuộc thời gian

Giả sử phương trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian, thu được các hàm riêng và trị riêng :

Với mỗi nghiệm riêng như thế có một nghiệm riêng tương ứng với phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian

điều này phù hợp khi gián đoạn.

Trong trường hợp liên tục, ví dụ như hạt tự do chuyển động một chiều, từ phương trìng Schrodinger không phụ thuộc thời gian

ta đã thu được hàm riêng và trị riêng .

Với mỗi nghiệm không phụ thuộc thời gian ta có một nghiệm phụ thuộc thời gian tương ứng

, trong đó

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

Chú thích[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ Cơ học lượng tử - Đinh Phan Khôi - 2009, trang 10
  2. ^ Hạt tự do là hạt chuyển động trong môi trường không có lực thế.
  3. ^ Phép đo là cách thức để biết giá trị cần đo, bằng cách tương tác hoặc không tương tác với đối tượng cần đo, ta xác định được giá trị muốn đo.
  4. ^ Cơ học lượng tử - Đinh Phan Khôi - 2009, trang 14
  5. ^ Cơ học lượng tử - Đinh Phan Khôi - 2009, trang 14-15
  6. ^ Hàm trạng thái là hàm biểu diễn trạng thái của đối tượng trong không gian tại thời điểm xác định. Một hàm trạng thái có thể là hàm số thực hoặc hàm số phức.
  7. ^ Cơ học lượng tử - Đinh Phan Khôi - 2009, trang 16