Giá trị riêng

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Jump to navigation Jump to search

Định nghĩa[sửa | sửa mã nguồn]

Cho là ma trận vuông cấp trên trường số . Số được gọi là giá trị riêng (gọi tắt là trị riêng – ký hiệu GTR) của ma trận A, nếu tồn tại một vectơ sao cho:

Khi đó vectơ được gọi là vectơ riêng (VTR) của ma trận ứng với giá trị riêng

Tính chất[sửa | sửa mã nguồn]

  1. Giá trị riêng chính là nghiệm của phương trình (1) được gọi là phương trình đặc trưng của ma trận A.
  2. Một giá trị riêng có thể có nhiều vectơ riêng.
  3. Mỗi vectơ riêng chỉ ứng với một giá trị riêng duy nhất.
  4. Ma trận là nghiệm của đa thức đặc trưng của chính nó (trong trường hợp này đa thức đặc trưng được coi là đa thức ma trận, nghĩa là biến số của nó không phải là biến số thực mà là biến ma trận)
  5. Nếu là giá trị riêng của ma trận thì không khả nghịch. Ngược lại, nếu mọi GTR của đều khác không thì khả nghịch.
  6. Nếu là GTR của ma trận thì là giá trị riêng của ma trận

Chứng minh[sửa | sửa mã nguồn]

1. Số là trị riêng của khi và chỉ khi . Suy ra: hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có nghiệm.

2. Điều này là hiển nhiên vì dựa vào định nghĩa và tính chất 1 thì hệ phương trình có vô số nghiệm.

3. Giả sử vectơ riêng ứng với 2 trị riêng

Ta cần chứng minh: . Thật vậy, ta có:

Mà: . Do đó:

4. Ta có:

5. Do là GTR của ma trận . Do đó:

Chứng tỏ A suy biến (không khả nghịch).

6. Ta có . Do đó

.

Từ đó, bằng cách chứng minh quy nạp, bạn sẽ có kết quả.

Nhận xét: từ kết quả trên, ta nhận thấy có một cách để tính nhanh . Đó là ta tìm đa thức đặc trưng của ma trận A. Sau đó, tính giá trị của .

Phương pháp giải tìm trị riêng, vectơ riêng[sửa | sửa mã nguồn]

  • Bước 1: Giải phương trình đặc trưng (1) tìm giá trị riêng.
  • Bước 2: Tìm vectơ riêng ứng với giá trị riêng :

Ứng với mỗi giá trị riêng vừa tìm được, ta giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (2)

Lưu ý: theo tính chất trên, thì hpt (2) luôn luôn có vô số nghiệm. Do đó, nếu bạn giải pt (2) mà vô nghiệm hoặc có nghiệm duy nhất thì phải kiểm tra lại.

Không gian con riêng ứng với GTR [sửa | sửa mã nguồn]

Các vetơ riêng của ma trận A ứng với giá trị riêng cùng với vectơ 0 tạo thành 1 không gian con được gọi là không gian con riêng ứng với

Ký hiệu:

Nếu giá trị riêng là nghiệm bội k thì

Các ví dụ[sửa | sửa mã nguồn]

Ví dụ 1: Tìm GTR, VTR của ma trận A:

Bước 1: Lập phương trình đặc trưng của ma trận A:

Giải phương trình đặc trưng, ta có:

Bước 2: Tìm các VTR:

1. Ta tìm các VTR ứng với giá trị riêng

Ứng với giá trị riêng ta có VTR là nghiệm của hệ phương trình:

Vậy VTR ứng với GTR có dạng

2. Ta tìm các VTR ứng với giá trị riêng

Ứng với giá trị riêng ta có VTR là nghiệm của hệ phương trình:

Vậy VTR ứng với GTR có dạng

Ví dụ 2: Tìm GTR, VTR của ma trận A:, xem A là ma trận phức

Bước 1: Lập phương trình đặc trưng của ma trận A:

Phương trình (1) vô nghiệm thực. Tuy nhiên do A là ma trận phức nên ta tìm GTR phức của ma trận. Giải phương trình đặc trưng, ta có:

Bước 2: Tìm các VTR:

1. Ta tìm các VTR ứng với giá trị riêng

Ứng với giá trị riêng ta có VTR là nghiệm của hệ phương trình:

Vậy VTR ứng với GTRcó dạng

2. Ta tìm các VTR ứng với giá trị riêng

Ứng với giá trị riêng ta có VTR là nghiệm của hệ phương trình:

Vậy VTR ứng với GTR có dạng

Ví dụ 3:

a. Tìm đa thức đặc trưng của ma trận:

b. Dựa vào đa thức đặc trưng, chứng minh A khả nghịch và chỉ ra biểu thức xác định A^{-1}

c. Tính

d. Tìm GTR, VTR của .

Giải.

a. Tương tự như các ví dụ trên, ta dễ dàng tìm được đa thức đặc trưng của ma trận :

b. Theo tính chất ta có: . Do đó:

Đặt.

Ta có: .

Do đó: khả nghịch và

c. Ta có nên:

d. Từ đa thức đặc trưng ta tìm được các GTR:

Khi đó: VTR ứng với giá trị riêng có dạng:

VTR ứng với giá trị riêng có dạng:

VTR ứng với giá trị riêng có dạng:

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]