Phân tích nhân tử

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm

Phân tích nhân tử (hay phân tích ra thừa số nguyên tố) là một thuật ngữ toán học dùng để chỉ một cách viết một số nguyên, hay tổng quát là một vật thể toán học, thành một phép nhân của các số nguyên khác, hay tổng quát là các vật thể toán học khác. Các số nguyên, hay vật thể toán học, nằm trong phép nhân gọi là nhân tử.

Ví dụ[sửa | sửa mã nguồn]

Phép tính nhân tử với số nguyên[sửa | sửa mã nguồn]

Ví dụ một phép phân tích nhân tử với số nguyên:

Đa thức và phân tích nhân tử[sửa | sửa mã nguồn]

Các đa thức cũng có thể được phân tích thành tích của các đa thức khác. Ví dụ:

Một số phương pháp phân tích thành nhân tử[sửa | sửa mã nguồn]

Phương pháp đặt nhân tử chung[sửa | sửa mã nguồn]

Nếu các hạng tử của đa thức đều có nhân tử chung thì ta có thể đặt nhân tử chung đó làm thừa số. VD:

Áp dụng hằng đẳng thức[sửa | sửa mã nguồn]

Nếu đa thức là một vế của hằng đẳng thức đáng nhớ nào đó thì có thể dùng hằng đẳng thức đó để biểu diễn đa thức này thành tích các đa thức. VD:

Những hằng đẳng thức đáng nhớ[sửa | sửa mã nguồn]

1. (A + B)2 = A2 + 2AB + B2

2. (A - B)2 = A2 - 2AB + B2

3. A2 - B2 = (A + B)(A - B)

4. (A + B)3= A3 + 3A2B + 3AB2 + B3

5. (A - B)3= A3 - 3A2B + 3AB2 - B3

6. A3 + B3 = (A + B) (A2 - AB + B2)

7. A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2)

Hệ thức liên quan[sửa | sửa mã nguồn]

  • (A + B + C)2 = A2 + B2 + C2 + 2AB + 2BC + 2AC
  • (A - B + C)2 = A2 + B2 + C2 - 2AB - 2BC + 2AC
  • (A + B - C)2 = A2 + B2 + C2 + 2AB - 2BC - 2AC
  • (-A + B + C)2 = A2 + B2 + C2 - 2AB + 2BC - 2AC

Hằng đẳng thức mở rộng[sửa | sửa mã nguồn]

8. An - Bn = (A - B)(An-1 + An-2B + An-3B2 + ... + ABn-2 + Bn-1)

9. An - Bn = (A - B)(An-1 - An-2B + An-3B2 - An-4B3 + ... + ABn-2 - Bn-1) (n chẵn)

10. An + Bn = (A + B)(An-1 - An-2B + An-3B2 - An-4B3 + ... + Bn-1) (n lẻ)

Phương pháp nhóm các hạng tử[sửa | sửa mã nguồn]

Nếu một đa thức có nhiều hạng tử, nhóm lại với nhau mà phân tích thành nhân tử chung được thì nhóm chúng lại theo từng nhóm thích hợp để phân tích đa thức đó thành nhân tử. VD:

Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử[sửa | sửa mã nguồn]

Phương pháp dựa vào nghiệm tìm được của đa thức[sửa | sửa mã nguồn]

  • Nếu đa thức có nghiệm là a thì đa thức đó phân tích được thành nhân tử mà một nhân tử là x-a.

+ Nếu đa thức f(x) có nghiệm nguyên thì đó phải là ước của hệ số tự do.

+  Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nhân tử là x–1

+ Nếu f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ thì f(x) có một nhân tử là x+1

+  Nếu f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ thì f(x) có một nhân tử là x+1

+  Nếu a là nghiệm nguyên của f(x) và f(1);f(−1) khác 0 thì   đều là số nguyên. Để nhanh chóng loại trừ nghiệm là ước của hệ số tự do.

Ta nhận thấy nghiệm của f(x) nếu có thì x = ±1;±2;±4, chỉ có f(2)=0 nên x=2 là nghiệm của f(x) nên f(x) có một nhân tử là x–2. Do đó ta  tách f(x) thành các nhóm có xuất hiện một nhân tử là x–2

Tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ nên đa thức có một nhân tử là x+1.

+  Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ thì có dạng  trong đó p là ước của hệ số tự do, q là ước dương của hệ số cao nhất.

Tách hạng tử đối với tam thức bậc hai có nghiệm[sửa | sửa mã nguồn]

Tam thức bậc hai có dạng:

ax2 + bx + c = ax2 + b­1x + b2x + c (a ≠ 0) nếu  

Lưu ý: Đối với tam thức bậc 2 ax2+bx+c:

- Nếu b^2-4ac <0 thì tam thức này không phân tích được thành nhân tử.

- Nếu b^2-4ac >0 thì tam thức này phân tích được thành nhân tử.

Phương pháp thêm bớt hạng tử[sửa | sửa mã nguồn]

Các đa thức có dạng  như: 

; ; ; ; ;…đều có nhân tử chung là  

Thêm bớt hạng tử làm xuất hiện hiệu hai bình phương[sửa | sửa mã nguồn]

VD:

Phương pháp hệ số bất định[sửa | sửa mã nguồn]

Chỉ nên áp dụng phương pháp này nếu tất cả các phương pháp trên đều không thể áp dụng được.

Như vậy nếu đa thức phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng 

đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho.

Phương pháp đổi biến[sửa | sửa mã nguồn]

VD:

Đặt khi đó:

Trong bài toán trên ta đã đổi đa thức biến x trên thành đa thức biến y. Vì vậy, phương pháp trên được gọi là phương pháp đổi biến.

Phương pháp xét giá trị riêng - Hoán vị vòng quanh[sửa | sửa mã nguồn]

VD:

Cách làm 1 <Dùng phương pháp tách hạng tử>

Cách làm 2 <Dùng phương pháp xét giá trị riêng>

Thay x=y ta có:

Do đó: x=y là một nghiệm của đa thức trên (Định lý Belzout) hay đa thức trên chứa nhân tử x-y.

Tương tự: Thay y=z, z=x ta có đa thức trên chứa nhân y-z, z-x.

Mà: Ta nhận thấy khi thay x=y, y=z, z=x thì đa thức trên không đổi (Đa thức trên hoán vị vòng quanh).

Do đó: đa thức trên có dạng:

         k(x-y)(y-z)(z-x) 

Ta thấy cả hai đa thứ trên đều có bậc là 2.

Vì vậy  luôn đúng.

Thay x=1, y=0, z=-1 ta có:

Vậy

Áp dụng[sửa | sửa mã nguồn]

Chứng minh một đa thức luôn lớn hơn 0 hay bé hơn 0[sửa | sửa mã nguồn]

{none}

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của đa thức[sửa | sửa mã nguồn]

{none}

Chia đa thức cho đa thức[sửa | sửa mã nguồn]

{none}

Tìm tập nghiệm phương trình[sửa | sửa mã nguồn]

{none}

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]