Số Lebesgue

Trong tô pô, bổ đề số Lebesgue là công cụ hữu dụng trong không gian mêtric compact. Bổ đề nói rằng:

Cho $A$ là phủ mở của không gian mêtric $(X,d)$. Nếu $X$ là compact, thì có $\varepsilon >0$ sao cho với mỗi quả cầu bán kính $\varepsilon$ thì chứa trong một thành phần của $A$.

Chứng minh

Với mỗi $x\in X$ có một tập mở $U_{x}\in A$ chứa $x$. Có một số $\varepsilon _{x}>0$ sao cho quả cầu $B(x,2\varepsilon _{x})$ chứa trong $U_{x}$. Họ

$\left\{B(x,\varepsilon _{x})|x\in X\right\}$

là phủ mở của $X$, nên có phủ con hữu hạn

$\left\{B(x_{i},\varepsilon _{i})|1\leq i\leq n\right\}$.

Đặt

$\varepsilon =\min \left\{\varepsilon _{i}|1\leq i\leq n\right\}$.

Giả sử rằng $y\in B(x,\varepsilon )$. Khi đó có $i_{0},1\leq i_{0}\leq n$, sao cho $x\in B(x_{i_{0}},\varepsilon _{i_{0}})$. Ta có

$d(y,x_{i_{0}})\leq d(y,x)+d(x,x_{i_{0}})<\varepsilon +\varepsilon _{i_{0}}\leq 2\varepsilon _{i0}.$

Điều này dẫn đến $y$ nằm trong thành phần $U_{x_{i_{0}}}$ của $A$, và $B(x,\varepsilon )$ chứa trong $U_{x_{i_{0}}}$.

Tham khảo

• James Munkres (2000), Topology, Prentice Hall, ISBN 0-13-181629-2.