Tô pô phần bù hữu hạn

Tô pô phần bù hữu hạn là tô pô có thể định nghĩa trên mỗi tập $X$. Nó bao gồm tập rỗng và các tập mở là các tập con của $X$ có phần bù là hữu hạn. Do đó, trong tô pô phần bù hữu hạn, chỉ những tập đóng hoặc $X$ là hữu hạn. Rõ ràng hơn, ta có thể viết tô pô phần bù hữu hạn như sau:

${\mathcal {T}}=\{A\subseteq X\mid A=\varnothing {\text{ hoặc }}X\setminus A{\text{ hữu hạn}}\}$

Tính chất

Mọi tập con $A$ của không gian tô pô $X$ với tô pô phần bù hữu hạn là compact.

Chứng minh.

Giả sử $\left\{U_{i}:i\in I\right\}$ là một phủ mở của $A$. Khi đó

$A=\bigcup _{i\in I}U_{i}$

nên

$X\setminus A=\bigcap _{i\in I}X\setminus U_{i}$

Vì mỗi $X\setminus U_{i}$ là hữu hạn nên $\bigcap _{i\in I}X\setminus U_{i}$ cũng hữu hạn. Do đó ta có thể chọn ra hữu hạn tập $X\setminus U_{i}$ ($i\in J$ với $J\subset I$ và $|J|<\infty$) sao cho

$X\setminus A=\bigcap _{i\in J}X\setminus U_{i}$

Do đó

$A=\bigcup _{i\in J}U_{i}$

Vậy $A$ compact.

Hệ quả

Một không gian tô-pô phần bù hữu hạn là một không gian compact.

Tham khảo

• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (Dover reprint of 1978 ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3, MR 050744