Thành viên:Baonvhse90170

Trong vật lý, các hình ảnh của Heisenberg là một công thức (do Werner Heisenberg) của cơ học lượng tử trong đó các toán tử (observables loại khác) kết hợp một sự phụ thuộc vào thời gian.

dẫn xuất của phương trình của Heisenberg

các giá trị kỳ vọng của 1 observable A, mà là 1 Hermitian toán tử tuyến tính cho 1 trạng thái $|\psi (t)\rangle$, được cho bởi

$\langle A\rangle _{t}=\langle \psi (t)|A|\psi (t)\rangle .$

trong Hình ảnhSchrödinger , phát biểu $|\psi \rangle$ tại thời điểm t liên quan đến phát biểu $|\psi \rangle$ thời điểm 0

$|\psi (t)\rangle =U(t)|\psi (0)\rangle .$

nếu Hamiltonian không thay đổi theo thời gian, thì các toán tử thời gian vận động được viết bởi

$U(t)=e^{-iHt/\hbar },$

nơi H là Hamiltonian và ħ là hằng số planck. Do đó,

$\langle A\rangle _{t}=\langle \psi (0)|e^{iHt/\hbar }Ae^{-iHt/\hbar }|\psi (0)\rangle .$

xác định, sau đó,

$A(t):=e^{iHt/\hbar }Ae^{-iHt/\hbar }.$

Nó xác định

${d \over dt}A(t)={i \over \hbar }He^{iHt/\hbar }Ae^{-iHt/\hbar }+e^{iHt/\hbar }\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)e^{-iHt/\hbar }+{i \over \hbar }e^{iHt/\hbar }A\cdot (-H)e^{-iHt/\hbar }$

$={i \over \hbar }e^{iHt/\hbar }\left(HA-AH\right)e^{-iHt/\hbar }+e^{iHt/\hbar }\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)e^{-iHt/\hbar }$

$={i \over \hbar }\left(HA(t)-A(t)H\right)+e^{iHt/\hbar }\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)e^{-iHt/\hbar }.$

sự khác biệt dựa theo quy tắc nhân, trong đó ∂A/∂t là đạo hàm thời gian ban đầu A, không phải A(t).

Do đó

${d \over dt}A(t)={i \over \hbar }[H,A(t)]+e^{iHt/\hbar }\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)e^{-iHt/\hbar },$

phương trình được chứng minh A(t) xác định ở trên

${e^{B}Ae^{-B}}=A+[B,A]+{\frac {1}{2!}}[B,[B,A]]+{\frac {1}{3!}}[B,[B,[B,A]]]+\cdots .$

hàm chứa

$A(t)=A+{\frac {it}{\hbar }}[H,A]-{\frac {t^{2}}{2!\hbar ^{2}}}[H,[H,A]]-{\frac {it^{3}}{3!\hbar ^{3}}}[H,[H,[H,A]]]+\dots$

mối quan hệ này cũng được dùng cơ học cổ điển, the giới hạn cổ điển ở trên

$[A,H]\leftrightarrow i\hbar \{A,H\}$

Trong cơ học cổ điển, for an A không phụ thuộc vào thời gian,

$\{A,H\}={d \over dt}A~,$

biểu thức A(t) là taylor mở rộng t = 0.

bảng so sánh

Evolution	Picture
of:	Heisenberg	Interaction	Schrödinger
Ket state	constant	$|\psi _{I}(t)\rangle =e^{iH_{0,S}~t/\hbar }|\psi _{S}(t)\rangle$	$|\psi _{S}(t)\rangle =e^{-iH_{S}~t/\hbar }|\psi _{S}(0)\rangle$
Observable	$A_{H}(t)=e^{iH_{S}~t/\hbar }A_{S}e^{-iH_{S}~t/\hbar }$	$A_{I}(t)=e^{iH_{0,S}~t/\hbar }A_{S}e^{-iH_{0,S}~t/\hbar }$	constant
Density matrix	constant	$\rho _{I}(t)=e^{iH_{0,S}~t/\hbar }\rho _{S}(t)e^{-iH_{0,S}~t/\hbar }$	$\rho _{S}(t)=e^{-iH_{S}~t/\hbar }\rho _{S}(0)e^{iH_{S}~t/\hbar }$

See also

• Interaction picture
• Bra-ket notation
• Schrödinger picture

References

• Cohen-Tannoudji, Claude (1977). Quantum Mechanics (Volume One). Paris: Wiley. tr. 312–314. ISBN 0-471-16433-X.
• Albert Messiah, 1966. Quantum Mechanics (Vol. I), English translation from French by G. M. Temmer. North Holland, John Wiley & Sons.

Liên kết ngoài

• Pedagogic Aides to Quantum Field Theory Click on the link for Chap. 2 to find an extensive, simplified introduction to the Heisenberg picture.