Tác động nhóm

Cho một tam giác đều , phép quay ngược chiều kim đồng hồ một góc 120° quanh tâm của tam giác sẽ ánh xạ mọi đỉnh của tam giác với một đỉnh khác. Nhóm tuần hoàn C₃ bao gồm các phép quay 0°, 120° và 240° tác dụng lên tập hợp ba đỉnh.

Trong toán học, một tác dụng nhóm trên một không gian là phép đồng cấu nhóm của một nhóm thành nhóm các phép biến đổi của không gian. Tương tự, một tác dụng nhóm trên một cấu trúc toán học là một phép đồng cấu nhóm của một nhóm vào nhóm tự đồng cấu của cấu trúc. Người ta nói rằng nhóm đó tác dụng lên không gian hoặc cấu trúc. Nếu một nhóm tác dụng lên một cấu trúc nào đó, nó thường cũng sẽ tác dụng lên các đối tượng được xây dựng từ cấu trúc đó. Lấy ví dụ như, nhóm các đối xứng của một khối đa diện tác dụng lên các đỉnh, các cạnh và các mặt của khối đa diện đó.

Tác dụng nhóm trên không gian vectơ (hữu hạn chiều) được gọi là biểu diễn nhóm. Nó cho phép người ta xác định nhiều nhóm là các nhóm con của GL(n, K), nhóm các ma trận khả nghịch bậc n trên trường K.

Định nghĩa

Tác dụng nhóm trái

Nếu G là một nhóm với phần tử đơn vị e và X là một tập hợp, thì một hành động nhóm α (bên trái) của G trên X là một hàm

$\alpha \colon G\times X\to X,$

(với α(g, x) thường được rút ngắn thành gx hoặc g ⋅ x khi tác dụng đang được xem xét đã được biết trước)

thỏa mãn hai tiên đề sau:

Tính đơn vị:	$e\cdot x=x$
Tính tương thích:	$g\cdot (h\cdot x)=(gh)\cdot x$

với mọi g và h thuộc G và mọi x thuộc X

Nhóm G được gọi là tác dụng lên tập X (từ trái qua). Tập hợp X cùng với một tác dụng của G được gọi là tập G (bên trái).

Từ hai tiên đề này, Dễ nhận thấy rằng cho bất kỳ g cố định trong G, hàm từ X vào chính nó là ánh xạ x tới g ⋅ x là một song ánh, với ánh xạ ngược tương ứng cho g⁻¹ .Do đó, người ta có thể định nghĩa một cách tương đương một tác dụng nhóm của G trên X như một phép đồng cấu nhóm từ G thành nhóm đối xứng Sym(X) của tất cả các song ánh từ X với chính nó.

Tác dụng nhóm phải

Tuơng tự như vậy, tác dụng nhóm phải của nhóm G tác dụng lên tập X là một hàm

$\alpha \colon X\times G\to X,$

thỏa mãn hai tiên đề sau:

Tính đơn vị:	$x\cdot e=x$
Tính tương thích:	$(x\cdot g)\cdot h=x\cdot (g\cdot h)$

với mọi g và h thuộc G và mọi x thuộc X