Hình quạt cầu

Hình quạt cầu (xanh lam) và tiết diện.

Trong hình học không gian, hình quạt cầu là một phần của hình cầu xác định bởi mặt biên của một hình nón có đỉnh nằm tại tâm của hình cầu. Có thể coi nó là hợp của một hình chỏm cầu và hình nón có định tại tâm hình cầu và đáy bằng đáy của hình chỏm cầu.

Thể tích

Hình quạt cầu tách khỏi hình cầu.

Nếu bán kính của hình cầu bằng r và chiều cao của chỏm cầu bằng h, thể tích của hình quạt cầu bằng

$V={\frac {2\pi r^{2}h}{3}}\,.$

Có thể viết công thức trên thành

$V={\frac {2\pi r^{3}}{3}}(1-\cos \varphi )\,,$

với φ là một nửa góc ở đỉnh của hình nón, hay góc tạo bởi biên của hình nón và đường thẳng nối về trung điểm của chỏm cầu từ tâm hình cầu.

Diện tích

Diện tích mặt cong của hình quạt cầu (nằm trên bề mặt hình cầu, không kể mặt nón) là

$A=2\pi rh\,.$

Nó cũng bằng

$A=\Omega r^{2}$

với Ω là góc khối của hình quạt cầu đo theo steradian, đơn vị SI của góc khối. 1 steradian được định nghĩa là góc khối chắn hình quạt cầu có diện tích A = r².

Chứng minh công thức

Xem thêm: Tích phân bội

Thể tích có thể tính bằng cách tích phân nguyên tố thể tích vi phân

$dV=\rho ^{2}\sin \theta d\rho d\phi d\theta$

miền xác định trên thể tích của hình quạt cầu,

$V=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\varphi }\int _{0}^{r}\rho ^{2}\sin \phi \,d\rho d\phi d\theta =\int _{0}^{2\pi }d\theta \int _{0}^{\varphi }\sin \phi d\phi \int _{0}^{r}\rho ^{2}d\rho ={\frac {2\pi r^{3}}{3}}(1-\cos \varphi )\,,$

ở đây tích phân đã được tách lớp, bởi vì tích phân có thể tách thành tích của những hàm với từng biến độc lập nhau.

Diện tích được tính tương tự bằng cách lấy tích phân nguyên tố diện tích

$dA=r^{2}\sin \phi d\phi d\theta$

xác định trên diện tích cho quạt cầu, cho

$A=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\varphi }r^{2}\sin \phi d\phi d\theta =r^{2}\int _{0}^{2\pi }d\theta \int _{0}^{\varphi }\sin \phi d\phi =2\pi r^{2}(1-\cos \varphi )\,,$

với φ là độ nghiêng (hay mặt đứng) và θ là góc phương vị (phải). Chú ý r là hằng số. Và tương tự tích phân có thể tách lớp để tính đơn giản hơn.

Xem thêm

• Hình cung (circular segment) — tương tự trong 2 chiều
• Góc khối
• Hình chỏm cầu (spherical cap)
• Hình đới cầu (spherical segment)
• Hình chêm cầu (spherical wedge)
• Hình vòng đai cầu trụ (hình giới hạn bởi hình cầu và hình trụ), (spherical ring)

Liên kết ngoài

• Weisstein, Eric W., "Spherical sector" từ MathWorld.
• Weisstein, Eric W., "Spherical cone" từ MathWorld.
• Summary of spherical formulas