Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Căn bậc hai”

Nội dung được xóa Nội dung được thêm vào

Nội tuyến

Phiên bản lúc 03:09, ngày 12 tháng 5 năm 2016

Trong toán học, căn bậc hai của một số a là một số x sao cho x² = a, hay nói cách khác là số x mà bình phương lên thì = a.^[1] Ví dụ, 4 và −4 là căn bậc hai của 16 vì 4² = (−4)² = 16.

Mọi số thực a không âm đều có một căn bậc hai không âm duy nhất, gọi là căn bậc hai chính, ký hiệu √a, ở đây √ được gọi là dấu căn. Ví dụ, căn bậc hai chính của 9 là 3, ký hiệu √9 = 3, vì 3² = 3 × 3 = 9 và 3 là số không âm.

Mọi số dương a đều có hai căn bậc hai: √a là căn bậc hai dương và −√a là căn bậc hai âm. Chúng được ký hiệu đồng thời là ± √a (xem dấu ±). Mặc dù căn bậc hai chính của một số dương chỉ là một trong hai căn bậc hai của số đó, việc gọi "căn bậc hai" thường đề cập đến căn bậc hai chính. Đối với số dương, căn bậc hai chính cũng có thể được viết dưới dạng ký hiệu lũy thừa, như là a^1/2.^[2]

Căn bậc hai của số âm có thể được bàn luận trong khuôn khổ số phức.

Tính chất và sử dụng

Hàm số căn bậc hai chính f(x) = √x (thường chỉ gọi là "hàm căn bậc hai") là một hàm số vạch ra tập hợp các số không âm. Căn bậc hai của x là số hữu tỉ khi và chỉ khi x là số hữu tỉ và có thể biểu diễn dưới dạng tỉ số căn bậc hai của hai số chính phương. Về phương diện hình học, đồ thị của hàm căn bậc hai xuất phát từ gốc tọa độ và có dạng một nửa parabol.

Đối với mọi số thực x

{\sqrt {x^{2}}}=\left|x\right|={\begin{cases}x,&{\mbox{ }}x\geq 0\\-x,&{\mbox{ }}x<0.\end{cases}}

(xem giá trị tuyệt đối)

Đối với mọi số thực không âm x và y,

{\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}

và

{\sqrt {x}}=x^{1/2}.

Hàm số căn bậc hai là hàm liên tục với mọi x không âm và khả vi với mọi x dương. Nếu f biểu thị hàm căn bậc hai thì đạo hàm của f là:

f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}.

Tính căn bậc hai

Hiện nay đa phần máy tính bỏ túi đều có phím căn bậc hai. Các bảng tính máy tính và phần mềm khác cũng thường được sử dụng để tính căn bậc hai. Máy tính bỏ túi thường thực hiện những chương trình hiệu quả, như phương pháp Newton, để tính căn bậc hai của một số thực dương.^[3]^[4] Khi tính căn bậc hai bằng bảng lôgarit hay thước lôga, có thể lợi dụng đồng nhất thức

√a = e^{( $ln$ a) / 2} hay √a = 10^{( $log$ ₁₀ a) / 2}.

trong đó $ln$ và $log$ ₁₀ lần lượt là lôgarit tự nhiên và lôgarit thập phân.

Vận dụng phương pháp thử (thử và sai, trial-and-error) có thể ước tính √a và thêm bớt cho tới khi đủ độ chính xác cần thiết. Giờ xét một ví dụ đơn giản, để tính √6, trước tiên tìm hai số chính phương gần nhất với số dưới dấu căn, một số lớn hơn và một số nhỏ hơn, đó là 4 và 9. Ta có √4 < √6 < √9 hay 2 < √6 < 3, từ đây có thể nhận thấy √6 nhỏ hơn và gần 2,5, chọn giá trị ước tính là 2,4. Có 2,4² = 5,76 < 6 < 6,25 = 2,5² suy ra 2,4 < √6 < 2,5; từ đây tiếp tục thấy rằng √6 gần với trung bình của 2,4 và 2,5, vậy giá trị ước đoán tiếp theo là 2,45...

Phương pháp lặp phổ biến nhất để tính căn bậc hai mà không dùng máy tính được biết đến với tên gọi "phương pháp Babylon hay "phương pháp Heron" theo tên người đầu tiên mô tả nó, triết gia người Hy Lạp Heron of Alexandria.^[5] Phương pháp này sử dụng sơ đồ lặp tương tự phương pháp Newton–Raphson khi ứng dụng hàm số y = f(x)=x² − a.^[6] Thuật toán là sự lặp lại một cách tính đơn giản mà kết quả sẽ ngày càng gần hơn với căn bậc hai thực mỗi lần lặp lại. Nếu x ước tính lớn hơn căn bậc hai của một số thực không âm a thì a/x sẽ nhỏ hơn và bởi vậy trung bình của hai số này sẽ là giá trị chính xác hơn bản thân mỗi số. Tuy nhiên, bất đẳng thức AM-GM chỉ ra giá trị trung bình này luôn lớn hơn căn bậc hai thực, do đó nó sẽ được dùng như một giá trị ước tính mới lớn hơn đáp số thực để lặp lại quá trình. Sự hội tụ là hệ quả của việc các kết quả ước tính lớn hơn và nhỏ hơn sau mỗi bước tính lại gần hơn với nhau. Để tìm x:

Khởi đầu với một giá trị x dương bất kỳ. Giá trị này càng gần căn bậc hai của a thì càng cần ít bước lặp lại cần thiết để đạt độ chính xác mong muốn.
Thay thế x bằng trung bình (x + a/x) / 2 của x và a/x.
Lặp lại bước 2, sử dụng giá trị trung bình này như giá trị mới của x.

Vậy, nếu x₀ là đáp số phỏng đoán của √a và x_{n + 1} = (x_n + a/x_n) / 2 thì mỗi x_n sẽ xấp xỉ với √a hơn với n lớn hơn. Nếu a là số dương, sự hội tụ là bình phương, có nghĩa trong quá trình tiến tới giới hạn, số chữ số chính xác sẽ tăng hai lần sau mỗi bước lặp. Nếu a = 0, tốc độ hội tụ chỉ là tuyến tính.

Áp dụng đồng nhất thức

√a = 2^-n√4ⁿ a,

việc tính căn bậc hai của một số dương có thể được đơn giản hóa thành tính căn bậc hai của một số trong khoảng $[1,4)$ . Điều này giúp tìm giá trị đầu cho phương pháp lặp gần hơn với đáp số chuẩn xác.

Một phương pháp hữu dụng khác để tính căn bậc hai là thuật toán thay đổi căn bậc n, áp dụng cho n = 2.

Xem thêm

Tham khảo

^ Gel'fand, p. 120
^ Zill, Dennis G.; Shanahan, Patrick (2008). A First Course in Complex Analysis With Applications (ấn bản 2). Jones & Bartlett Learning. tr. 78. ISBN 0-7637-5772-1. Extract of page 78
^ Parkhurst, David F. (2006). Introduction to Applied Mathematics for Environmental Science. Springer. tr. 241. ISBN 9780387342283.
^ Solow, Anita E. (1993). Learning by Discovery: A Lab Manual for Calculus. Cambridge University Press. tr. 48. ISBN 9780883850831.
^ Heath, Sir Thomas L. (1921). A History of Greek Mathematics, Vol. 2. Oxford: Clarendon Press. tr. 323–324. Chú thích có tham số trống không rõ: |coauthors= (trợ giúp)
^ Muller, Jean-Mic (2006). Elementary functions: algorithms and implementation. Springer. tr. 92–93. ISBN 0-8176-4372-9., Chapter 5, p 92

Đọc thêm

Imhausen, Annette (2007). The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam. Princeton: Princeton University Press. tr. 187–384. ISBN 0691114854.
Joseph, George (2000). The Crest of the Peacock. Princeton: Princeton University Press. ISBN 0691006598.
Smith, David (1958). History of Mathematics. 2. New York: Dover Publications. ISBN 9780486204307.

Liên kết ngoài

Algorithms, implementations, and more - Paul Hsieh's square roots webpage
How to manually find a square root

Bài viết liên quan đến toán học này vẫn còn sơ khai. Bạn có thể giúp Wikipedia mở rộng nội dung để bài được hoàn chỉnh hơn.

[1] Gel'fand, p. 120

[2] Zill, Dennis G.; Shanahan, Patrick (2008). A First Course in Complex Analysis With Applications (ấn bản 2). Jones & Bartlett Learning. tr. 78. ISBN 0-7637-5772-1. Extract of page 78

[3] Parkhurst, David F. (2006). Introduction to Applied Mathematics for Environmental Science. Springer. tr. 241. ISBN 9780387342283.

[4] Solow, Anita E. (1993). Learning by Discovery: A Lab Manual for Calculus. Cambridge University Press. tr. 48. ISBN 9780883850831.

[5] Heath, Sir Thomas L. (1921). A History of Greek Mathematics, Vol. 2. Oxford: Clarendon Press. tr. 323–324. Chú thích có tham số trống không rõ: |coauthors= (trợ giúp)

[6] Muller, Jean-Mic (2006). Elementary functions: algorithms and implementation. Springer. tr. 92–93. ISBN 0-8176-4372-9., Chapter 5, p 92

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

@@ Dòng 9: / Dòng 9: @@
 Căn bậc hai của số âm có thể được bàn luận trong khuôn khổ [[số phức]].
+==Tính chất và sử dụng==
+[[Image:Square root 0 25.svg|thumb|400px|Đồ thị của hàm số ''f''(''x'') = {{sqrt|''x''}} là một nửa [[parabol]] với [[đường conic|đường chuẩn]] thẳng đứng.]]
+Hàm số căn bậc hai chính ''f''(''x'') = {{sqrt|''x''}} (thường chỉ gọi là "hàm căn bậc hai") là một [[hàm số]] vạch ra [[tập hợp]] các số không âm. Căn bậc hai của ''x'' là số hữu tỉ khi và chỉ khi ''x'' là [[số hữu tỉ]] và có thể biểu diễn dưới dạng tỉ số căn bậc hai của hai số chính phương. Về phương diện [[hình học]], đồ thị của hàm căn bậc hai xuất phát từ gốc tọa độ và có dạng một nửa [[parabol]].
+Đối với mọi số thực ''x''
+:<math>
+\sqrt{x^2} = \left|x\right| =
+\begin{cases}
+  x,  & \mbox{ }x \ge 0 \\
+  -x, & \mbox{ }x < 0.
+\end{cases}
+</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(xem [[giá trị tuyệt đối]])
+Đối với mọi số thực không âm ''x'' và ''y'',
+:<math>\sqrt{xy} = \sqrt x \sqrt y</math>
+và
+:<math>\sqrt x = x^{1/2}.</math>
+Hàm số căn bậc hai là [[hàm số liên tục|hàm liên tục]] với mọi ''x'' không âm và [[đạo hàm|khả vi]] với mọi ''x'' dương. Nếu ''f'' biểu thị hàm căn bậc hai thì đạo hàm của ''f'' là:
+:<math>f'(x) = \frac{1}{2\sqrt x}.</math>
+==Tính căn bậc hai==
+{{main|Các phương pháp tính căn bậc hai}}
+Hiện nay đa phần [[máy tính bỏ túi]] đều có phím căn bậc hai. Các [[bảng tính]] máy tính và [[phần mềm]] khác cũng thường được sử dụng để tính căn bậc hai. Máy tính bỏ túi thường thực hiện những chương trình hiệu quả, như [[phương pháp Newton]], để tính căn bậc hai của một số thực dương.<ref>{{cite book|last=Parkhurst|first=David F.|title=Introduction to Applied Mathematics for Environmental Science|year=2006|publisher=Springer|isbn=9780387342283|pages=241}}</ref><ref>{{cite book|last=Solow|first=Anita E.|title=Learning by Discovery: A Lab Manual for Calculus|year=1993|publisher=Cambridge University Press|isbn=9780883850831|pages=48}}</ref> Khi tính căn bậc hai bằng [[bảng lôgarit]] hay [[thước lôga]], có thể lợi dụng đồng nhất thức
+:{{sqrt|''a''}} = ''e''<sup>({{math|ln}} ''a'') / 2</sup> hay {{sqrt|''a''}} = 10<sup>({{math|log}}<sub>10</sub> ''a'') / 2</sup>.
+trong đó {{math|ln}} và {{math|log}}<sub>10</sub> lần lượt là [[lôgarit tự nhiên]] và [[lôgarit thập phân]].
+Vận dụng phương pháp thử (thử và sai, trial-and-error) có thể ước tính {{sqrt|''a''}} và thêm bớt cho tới khi đủ độ chính xác cần thiết. Giờ xét một ví dụ đơn giản, để tính {{sqrt|6}}, trước tiên tìm hai [[số chính phương]] gần nhất với số dưới dấu căn, một số lớn hơn và một số nhỏ hơn, đó là 4 và 9. Ta có {{sqrt|4}} < {{sqrt|6}} < {{sqrt|9}} hay 2 < {{sqrt|6}} < 3, từ đây có thể nhận thấy {{sqrt|6}} nhỏ hơn và gần 2,5, chọn giá trị ước tính là 2,4. Có 2,4<sup>2</sup> = 5,76 < 6 < 6,25 = 2,5<sup>2</sup> suy ra 2,4 < {{sqrt|6}} < 2,5; từ đây tiếp tục thấy rằng {{sqrt|6}} gần với trung bình của 2,4 và 2,5, vậy giá trị ước đoán tiếp theo là 2,45...
+[[Phương pháp lặp]] phổ biến nhất để tính căn bậc hai mà không dùng máy tính được biết đến với tên gọi "[[phương pháp Babylon]] hay "phương pháp Heron" theo tên người đầu tiên mô tả nó, triết gia người Hy Lạp [[Hero of Alexandria|Heron of Alexandria]].<ref>{{cite book
+  | last = Heath
+  | first = Sir Thomas L.
+  | authorlink =
+  | coauthors =
+  | title = A History of Greek Mathematics, Vol. 2
+  | publisher = Clarendon Press
+  | year = 1921
+  | location = Oxford
+  | pages = 323–324
+  | url = https://books.google.com/?id=LOA5AAAAMAAJ&pg=PR323
+  | doi =
+  | id =
+  | isbn = }}</ref>
+Phương pháp này sử dụng sơ đồ lặp tương tự [[phương pháp Newton–Raphson]] khi ứng dụng hàm số y = f(''x'')=''x''<sup>2</sup> − ''a''.<ref>{{Cite book
+  |title=Elementary functions: algorithms and implementation
+  |first1=Jean-Mic
+  |last1=Muller
+  |publisher=Springer
+  |year=2006
+  |isbn=0-8176-4372-9
+  |pages=92–93
+  |url=https://books.google.com/?id=g3AlWip4R38C
+  |postscript=<!--None-->}}, [https://books.google.com/books?id=g3AlWip4R38C&pg=PA92 Chapter 5, p 92]
+</ref>
+Thuật toán là sự lặp lại một cách tính đơn giản mà kết quả sẽ ngày càng gần hơn với căn bậc hai thực mỗi lần lặp lại. Nếu ''x'' ước tính lớn hơn căn bậc hai của một số thực không âm ''a'' thì ''a''/''x'' sẽ nhỏ hơn và bởi vậy trung bình của hai số này sẽ là giá trị chính xác hơn bản thân mỗi số. Tuy nhiên, [[Bất đẳng thức Cauchy|bất đẳng thức AM-GM]] chỉ ra giá trị trung bình này luôn lớn hơn căn bậc hai thực, do đó nó sẽ được dùng như một giá trị ước tính mới lớn hơn đáp số thực để lặp lại quá trình. [[Giới hạn của dãy|Sự hội tụ]] là hệ quả của việc các kết quả ước tính lớn hơn và nhỏ hơn sau mỗi bước tính lại gần hơn với nhau. Để tìm ''x'':
+#Khởi đầu với một giá trị ''x'' dương bất kỳ. Giá trị này càng gần căn bậc hai của ''a'' thì càng cần ít bước lặp lại cần thiết để đạt độ chính xác mong muốn.
+#Thay thế ''x'' bằng trung bình (''x'' + ''a''/''x'') / 2 của ''x'' và ''a''/''x''.
+#Lặp lại bước 2, sử dụng giá trị trung bình này như giá trị mới của ''x''.
+Vậy, nếu ''x''<sub>0</sub> là đáp số phỏng đoán của {{sqrt|''a''}} và {{nowrap|1 = ''x''<sub>''n'' + 1</sub> = (''x<sub>n</sub>'' + ''a''/''x<sub>n</sub>'') / 2}} thì mỗi x<sub>n</sub> sẽ xấp xỉ với {{sqrt|''a''}} hơn với ''n'' lớn hơn. Nếu ''a'' là số dương, sự hội tụ là [[Tốc độ hội tụ|bình phương]], có nghĩa trong quá trình tiến tới giới hạn, số chữ số chính xác sẽ tăng hai lần sau mỗi bước lặp. Nếu {{nowrap|1 =''a'' = 0}}, tốc độ hội tụ chỉ là tuyến tính.
+Áp dụng đồng nhất thức
+:{{sqrt|''a''}} = 2<sup>-''n''</sup>{{sqrt|4<sup>''n''</sup> ''a''}},
+việc tính căn bậc hai của một số dương có thể được đơn giản hóa thành tính căn bậc hai của một số trong khoảng {{closed-open|1,4}}. Điều này giúp tìm giá trị đầu cho phương pháp lặp gần hơn với đáp số chuẩn xác.
+Một phương pháp hữu dụng khác để tính căn bậc hai là [[thuật toán thay đổi căn bậc n]], áp dụng cho {{nowrap|1= ''n'' = 2}}.
 ==Xem thêm==