Cấu trúc (toán học)

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm

Trong toán học, một cấu trúc trên một tập hợp, hoặc tổng quát hơn một kiểu, bao gồm thêm đối tượng toán học mà theo một cách nào đó gắn với (hay liên quan với) tập hợp, làm cho nó dễ dàng hơn để hình dung hay nghiên cứu, hoặc cho phép tập hợp có ý nghĩa hoặc sự quan trọng nào đó.

Danh sách các kiểu cấu trúc bao gồm độ đo, các cấu trúc đại số (các nhóm, các trường, v.v.), tô pô, không gian mêtric (hình học), tính thứ tự, tập hợp tương đương, và các cấu trúc vi phân.

Đôi khi, một tập được cung cấp đồng thời nhiều hơn một cấu trúc; điều này cho phép các nhà toán học nghiên cứu nó đầy đủ hơn. Ví dụ, một sắp thứ tự trên tô pô. Một ví dụ khác, nếu một tập hợp có một cấu trúc tô pô và là một nhóm, và hai cấu trúc này có quan hệ với nhau theo một cách nhất định nào đó, tập hợp này sẽ trở thành nhóm tô pô.

Các ánh xạ giữa các tập hợp mà đảm bảo tính cấu trúc (bởi vậy cấu trúc trong một miền nào đó được ánh xạ tới một cấu trúc tương ứng trong codomain) nhận được sự quan tâm trong rất nhiều lĩnh vực của toán học. Các ví dụ có thể kể ra tính đồng hình, giữ nguyên cấu trúc đại số; homeomorphisms, giữ nguyên cấu trúc topo; và vi phôi, giữ nguyên cấu trúc vi phần.

Ví dụ: các số thực[sửa | sửa mã nguồn]

Tập hợp các số thực là một cấu trúc chuẩn:

  • Tính thứ tự: mỗi một số hoặc là nhỏ hơn, hoặc là lớn hơn các số còn lại.
  • Cấu trúc đại số: tồn tại các toán tử nhân và cộng tạo ra một trường.
  • Phép đo: intervals along the real line have a certain length, which can be extended to the Lebesgue measure on many of its subsets.
  • Độ đo: tồn tại khái niệm khoảng cách giữa các điểm.
  • Hình học: được trang bị với một đơn vị độ đoflat.
  • Tô pô: tồn tại khái nhiệm tập hợp mở.

Tồn tại sự liên kết giữa các khái niệm trên:

  • Tính có thứ tự và, một cách độc lập, cấu trúc độ đo tạo ra tính tô pô của nó.
  • Tính thứ tự và cấu trúc đại số tạo ra một trường có thứ tự.
  • Cấu trúc đại số của nó và tô pô biến nó thành một nhóm lie, một kiểu của nhóm tô pô.

Xem[sửa | sửa mã nguồn]

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]