Định lý của Ribet

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Định lý Ribet (trước đó được gọi là phỏng đoán epsilon hoặc ε-phỏng đoán) là một phần của lý thuyết số. Nó liên quan đến các thuộc tính của các biểu diễn Galois liên kết với các dạng mô-đun. Nó được đề xuất bởi Jean-Pierre Serre và được chứng minh bởi Ken Ribet. Chứng minh là một bước quan trọng đối với chứng minh Định lý cuối cùng của Fermat (FLT). Như được thể hiện bởi Serre và Ribet, phỏng đoán Taniyama – Shimura (tình trạng chưa được giải quyết vào thời điểm đó) và phỏng đoán epsilon cùng ngụ ý rằng FLT là đúng.

Về mặt toán học, định lý Ribet chỉ ra rằng nếu biểu diễn Galois kết hợp với một đường cong elliptic có một số tính chất nhất định, thì đường cong đó không thể là mô-đun (theo nghĩa là không thể tồn tại một dạng mô-đun dẫn đến biểu diễn giống nhau).

Gọi f là một dạng mới trọng số 2 trên Γ 0 ( qN ) –ie của cấp qN trong đó q không chia N –với biểu diễn mod 2 chiều tuyệt đối bất khả quy p p Biểu diễn Galois ρ f, p không phân biệt tại q nếu qp và phẳng hữu hạn tại q = p . Khi đó, tồn tại một trọng lượng 2 dạng mới g của cấp N sao cho

Đặc biệt, nếu E là một đường cong elip với dây dẫn qN , thì định lý môđun đảm bảo rằng tồn tại một trọng số 2 dạng mới f của mức qN sao cho biểu diễn Galois mod p p 2 chiều ρ f, p của f là đẳng cấu với 2 chiều mod p Biểu diễn Galois ρ E , p của E. Để áp dụng Định lý Ribet cho ρ E , p , chỉ cần kiểm tra tính bất khả quy và phân nhánh của ρ E, p . Sử dụng lý thuyết về đường cong Tate , người ta có thể chứng minh rằng ρ E, p là không đơn vị tại qp và đồng phẳng hữu hạn tại q = p nếu p chia lũy thừa mà q xuất hiện trong phân biệt nhỏ nhấtΔ E. Khi đó, định lý Ribet ngụ ý rằng tồn tại một trọng số 2 dạng mới g cấp N sao cho ρ g , pρ E , p .

Định lý Ribet phát biểu rằng bắt đầu bằng đường cong elip E của dây dẫn qN không đảm bảo sự tồn tại của đường cong elip E ' cấp N sao cho ρ E, pρ E ′, p . Dạng mới g của mức N có thể không có hệ số Fourier hợp lý và do đó có thể được liên kết với một loại abelian có chiều cao hơn , không phải là một đường cong elliptic. Ví dụ: đường cong elliptic 4171a1 trong cơ sở dữ liệu Cremona được đưa ra bởi phương trình với dây dẫn 43 × 97 và phân biệt 43 7  × 97 3 không cấp thấp hơn mod 7 thành đường cong elip của dây dẫn 97. Đúng hơn, biểu diễn mod p Galois là đẳng hình với biểu diễn mod p Galois của một dạng mới vô tỉ g của cấp 97 .