Giả thuyết abc

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Buớc tưới chuyển hướng Bước tới tìm kiếm

Giả thuyết abc là một giả thuyết toán học, được phát biểu ban đầu năm 1985 bởi Joseph Oesterlé và được tổng quát hóa sau đó bởi David Masser. Giả định này có thể liên quan đến việc nghiên cứu về các phương trình Diophantine chẳng hạn như là về số nghiệm hữu hạn của định lý Fermat lớn, một định lý nổi tiếng của Pierre de Fermat.

Phát biểu[sửa | sửa mã nguồn]

Để hiểu giả thuyết này trước tiên chúng ta cùng tìm hiểu về một khái niệm gọi là đẳng phương của một số nguyên (tạm dịch từ radical of an integer)

Trong lý thuyết số, đẳng phương của một số nguyên dương n được định nghĩa là tích của các số nguyên tố trong phân tích thừa số nguyên tố của n với điều kiện mỗi số nguyên tố trong phân tích ra thừa số nguyên tố của n chỉ xuất hiện duy nhất một lần trong tích này, ký hiệu là rad(n).

Giải thích khái niệm trên như sau, theo định lý cơ bản của số học mọi số tự nhiên lớn hơn 1 có thể viết một cách duy nhất (không kể sự sai khác về thứ tự các thừa số) thành tích các thừa số nguyên tố. Mọi số tự nhiên n lớn hơn 1, có thể viết duy nhất dưới dạng:

trong đó là các số nguyên tố và là các số tự nhiên dương.[1][2][3] Tuy nhiên do tính giao hoán của phép nhân các số tự nhiên, tính duy nhất bỏ qua các sai khác về thứ tự các thừa số. Vế phải của đẳng thức này được gọi là dạng phân tích tiêu chuẩn của n.

Như vậy :

Ví dụ:

thì :

thì :

Giả thuyết ABC. cho ε là một số thực dương tùy ý, khi đó tồn tại một số hữu hạn ba số (a, b, c) nguyên dương nguyên tố đôi một cùng nhau mà a + b = c, sao cho:

Phát biểu trên tương đương với phát biểu sau đây

Giả thuyết ABC II. Với ε là số thực dương tùy ý, tồn tại hằng số Kε sao cho với tất cả các bộ ba số nguyên dương nguyên tố đôi một cùng nhau (a, b, c), với a + b = c:

Một phát biểu thứ ba tương đương như sau, ta gọi đặc tính q(a, b, c) của ba số (a, b, c), định nghĩa bằng biểu thức

Ví dụ,

q(4, 127, 131) = log(131) / log(rad(4·127·131)) = log(131) / log(2·127·131) = 0.46820...
q(3, 125, 128) = log(128) / log(rad(3·125·128)) = log(128) / log(30) = 1.426565...
Giả thuyết ABC III. cho ε là một số thực dương tùy ý, tồn tại một số lượng hữu hạn (a, b, c) nguyên dương nguyên tố đôi một cùng nhau với a + b = c sao cho đặc tính của bộ ba q(a, b, c) > 1 + ε.

Các hệ quả của giả thuyết ABC[sửa | sửa mã nguồn]

Một số tính toán máy tính[sửa | sửa mã nguồn]

Sự phân bố bộ ba a, b, c với q > 1[4]
q
c
q > 1 q > 1.05 q > 1.1 q > 1.2 q > 1.3 q > 1.4
c < 102 6 4 4 2 0 0
c < 103 31 17 14 8 3 1
c < 104 120 74 50 22 8 3
c < 105 418 240 152 51 13 6
c < 106 1,268 667 379 102 29 11
c < 107 3,499 1,669 856 210 60 17
c < 108 8,987 3,869 1,801 384 98 25
c < 109 22,316 8,742 3,693 706 144 34
c < 1010 51,677 18,233 7,035 1,159 218 51
c < 1011 116,978 37,612 13,266 1,947 327 64
c < 1012 252,856 73,714 23,773 3,028 455 74
c < 1013 528,275 139,762 41,438 4,519 599 84
c < 1014 1,075,319 258,168 70,047 6,665 769 98
c < 1015 2,131,671 463,446 115,041 9,497 998 112
c < 1016 4,119,410 812,499 184,727 13,118 1,232 126
c < 1017 7,801,334 1,396,909 290,965 17,890 1,530 143
c < 1018 14,482,065 2,352,105 449,194 24,013 1,843 160

Cho đến năm 2014, ABC@Home đã tìm thấy 23.8 triệu bộ ba.[5]

[6]
Thứ tự q a b c Phát hiện bởi
1 1.6299 2 310·109 235 Eric Reyssat
2 1.6260 112 32·56·73 221·23 Benne de Weger
3 1.6235 19·1307 7·292·318 28·322·54 Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski
4 1.5808 283 511·132 28·38·173 Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski, Abderrahmane Nitaj
5 1.5679 1 2·37 54·7 Benne de Weger

Chú ý: đặc tính q(a, b, c) của bộ ba (a, b, c) được định nghĩa như trên phần giả thuyết abc III

Tham khảo gốc[sửa | sửa mã nguồn]

  • C. L. Stewart and Kunrui Yu, "On the abc Conjecture", Math. Ann., 291 (1991), 225-30.

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ Long (1972, tr. 44)
  2. ^ Pettofrezzo & Byrkit (1970, tr. 53)
  3. ^ Hardy & Wright (2008, Thm 2)
  4. ^ “Synthese resultaten”, RekenMeeMetABC.nl (bằng tiếng Hà Lan), Bản gốc lưu trữ ngày 22 tháng 12 năm 2008, truy cập ngày 3 tháng 10 năm 2012 .
  5. ^ “Data collected sofar”, ABC@Home, Bản gốc lưu trữ ngày 15 tháng 5 năm 2014, truy cập ngày 30 tháng 4 năm 2014 
  6. ^ “100 unbeaten triples”. Reken mee met ABC. 7 tháng 11 năm 2010.