Biến đổi Fourier liên tục

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Buớc tưới chuyển hướng Bước tới tìm kiếm
Biến đổi Fourier
Biến đổi Fourier liên tục
Chuỗi Fourier
Biến đổi Fourier rời rạc
Biến đổi Fourier theo thời gian gián đoạn

Trong toán học, biến đổi Fourier liên tục là một toán tử tuyến tính chuyển một hàm khả tích (theo tích phân Lebesgue) sang một hàm khả tích khác. Theo ngôn ngữ của chuyên ngành xử lý tín hiệu hay trong vật lý, biến đổi Fourier khai triển một hàm số theo các thành phần trong phổ của nó, và ngược lại biến đổi Fourier nghịch đảo xây dựng lại một hàm số thông qua các thành phân tần số của nó. Đây cũng là ý tưởng chính của các dạng khác của biến đổi Fourier, bao gồm cả biến đổi Fourier rời rạc.

Xét một hàm số phức khả tích Lebesgue x(t). Một biến đổi Fourier của nó sang miền tần số góc ω được cho bởi hàm:

cho tất cả các số thực . đơn vị số ảo, và là một hàm nhận giá trị phức.

Biến đổi nghịch đảo của nó cũng có dạng tương tự. Nếu hàm được định nghĩa như trên, và hàm liên tục bậc vô hạn, khi đó :

cho tất cả các số thực .

Hệ số chuẩn hóa[sửa | sửa mã nguồn]

Dạng tổng quát[sửa | sửa mã nguồn]

Các tính chất[sửa | sửa mã nguồn]

Biến đổi của các hàm thông dụng[sửa | sửa mã nguồn]

Bản sau đây ghi lại một số biến đổi Fourier quan trọng. GH ký hiệu biến đổi Fourier của hàm số g(t) và h(t), theo thứ tự đó. gh có thể là hàm khả tích hoặc là phân bố.

Các mối liên quan[sửa | sửa mã nguồn]

Tín hiệu Biến đổi Fourier
unitary, tần số góc
Biến đổi Fourier
unitary, tần số thường
Chú thích




101 Tuyến tính
102 dịch trong thời gian
103 dịch trong tần số, đối ngẫu của 2
104 Nếu lớn, thì tập trung xung quanh 0 và trải rộng ra và phẳng dần. Để ý đến giới hạn của giá trị này khi ra vô cực - hàm số delta.
105 Tính chất đối ngẫu của biến đổi Fourier. Kết quả từ việc hoán đổi biến .
106 Đạo hàm tổng quát của biến đổi Fourier
107 Đối ngẫu của 106
108 denotes the convolution of and — this rule is the convolution theorem
109 This is the dual of 108
110 is purely real, and an even function and are purely real, and even functions
111 is purely real, and an odd function and are purely imaginary, and odd functions

Các hàm bình phương khả tích[sửa | sửa mã nguồn]

Signal Fourier transform
unitary, angular frequency
Fourier transform
unitary, ordinary frequency
Remarks




201 The rectangular pulse and the normalized sinc function
202 Dual of rule 201. The rectangular function is an idealized low-pass filter, and the sinc function is the non-causal impulse response of such a filter.
203 tri is the triangular function
204 Dual of rule 203.
205 Shows that the Gaussian function is its own Fourier transform. For this to be integrable we must have .
206 common in optics
207
208
209 a>0
210 the transform is the function itself
211 J0(t) is the Bessel function of first kind of order 0
212 it's the generalization of the previous transform; Tn (t) is the Chebyshev polynomial of the first kind.
213
 

 
Un (t) is the Chebyshev polynomial of the second kind
214 Hyperbolic secant is its own Fourier transform

Distributions[sửa | sửa mã nguồn]

Signal Fourier transform
unitary, angular frequency
Fourier transform
unitary, ordinary frequency
Remarks




301 denotes the Dirac delta distribution.
302 Dual of rule 301.
303 This follows from and 103 and 302.
304 Follows from rules 101 and 303 using Euler's formula:
305 Also from 101 and 303 using
306 Here, is a natural number. is the -th distribution derivative of the Dirac delta. This rule follows from rules 107 and 302. Combining this rule with 1, we can transform all polynomials.
307 Here is the sign function; note that this is consistent with rules 107 and 302.
308 Generalization of rule 307.
309 The dual of rule 307.
310 Here is the Heaviside unit step function; this follows from rules 101 and 309.
311 is the Heaviside unit step function and .
312 The Dirac comb — helpful for explaining or understanding the transition from continuous to discrete time.

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]