Biến đổi Fourier liên tục

Trong toán học, biến đổi Fourier liên tục là một toán tử tuyến tính chuyển một hàm khả tích (theo tích phân Lebesgue) sang một hàm khả tích khác. Theo ngôn ngữ của chuyên ngành xử lý tín hiệu hay trong vật lý, biến đổi Fourier khai triển một hàm số theo các thành phần trong phổ của nó, và ngược lại biến đổi Fourier nghịch đảo xây dựng lại một hàm số thông qua các thành phân tần số của nó. Đây cũng là ý tưởng chính của các dạng khác của biến đổi Fourier, bao gồm cả biến đổi Fourier rời rạc.

Xét một hàm số phức khả tích Lebesgue x(t). Một biến đổi Fourier của nó sang miền tần số góc ω được cho bởi hàm:

$X(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-i\omega t}\,dt$

cho tất cả các số thực $\omega \,$. $i={\sqrt {-1}}$ đơn vị số ảo, và $X(\omega )\,$ là một hàm nhận giá trị phức.

Biến đổi nghịch đảo của nó cũng có dạng tương tự. Nếu hàm $X(\omega )\,$ được định nghĩa như trên, và hàm $x\,$ liên tục bậc vô hạn, khi đó :

$x(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }X(\omega )e^{i\omega t}\,d\omega$

cho tất cả các số thực $t\,$.

Biến đổi của các hàm thông dụng

Bản sau đây ghi lại một số biến đổi Fourier quan trọng. G và H ký hiệu biến đổi Fourier của hàm số g(t) và h(t), theo thứ tự đó. g và h có thể là hàm khả tích hoặc là phân bố.

Các mối liên quan

	Tín hiệu	Biến đổi Fourier unitary, tần số góc	Biến đổi Fourier unitary, tần số thường	Chú thích
	$g(t)\,$	$G(\omega )\!\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \!$ ${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\!\!g(t)e^{-i\omega t}\,dt$	$G(f)\!\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\$ $\int _{-\infty }^{\infty }\!\!g(t)e^{-i2\pi ft}\,dt$
101	$a\cdot g(t)+b\cdot h(t)\,$	$a\cdot G(\omega )+b\cdot H(\omega )\,$	$a\cdot G(f)+b\cdot H(f)\,$	Tuyến tính
102	$g(t-a)\,$	$e^{-ia\omega }G(\omega )\,$	$e^{-i2\pi af}G(f)\,$	dịch trong thời gian
103	$e^{iat}g(t)\,$	$G(\omega -a)\,$	$G\left(f-{\frac {a}{2\pi }}\right)\,$	dịch trong tần số, đối ngẫu của 2
104	$g(at)\,$	${\frac {1}{|a|}}G\left({\frac {\omega }{a}}\right)\,$	${\frac {1}{|a|}}G\left({\frac {f}{a}}\right)\,$	Nếu $|a|\,$ lớn, thì $g(at)\,$ tập trung xung quanh 0 và ${\frac {1}{|a|}}G\left({\frac {\omega }{a}}\right)\,$ trải rộng ra và phẳng dần. Để ý đến giới hạn của giá trị này khi $|a|$ ra vô cực - hàm số delta.
105	$G(t)\,$	$g(-\omega )\,$	$g(-f)\,$	Tính chất đối ngẫu của biến đổi Fourier. Kết quả từ việc hoán đổi biến $t\,$ và $\omega \,$.
106	${\frac {d^{n}g(t)}{dt^{n}}}\,$	$(i\omega )^{n}G(\omega )\,$	$(i2\pi f)^{n}G(f)\,$	Đạo hàm tổng quát của biến đổi Fourier
107	$t^{n}g(t)\,$	$i^{n}{\frac {d^{n}G(\omega )}{d\omega ^{n}}}\,$	$\left({\frac {i}{2\pi }}\right)^{n}{\frac {d^{n}G(f)}{df^{n}}}\,$	Đối ngẫu của 106
108	$(g*h)(t)\,$	${\sqrt {2\pi }}G(\omega )H(\omega )\,$	$G(f)H(f)\,$	$g*h\,$ biểu thị chập cuả $g\,$ và $h\,$ — quy tắc này là định lý tích chập
109	$g(t)h(t)\,$	$(G*H)(\omega ) \over {\sqrt {2\pi }}\,$	$(G*H)(f)\,$	Đây là kép của 108
110	$g(t)\,$ hoàn toàn là thực và hàm chẵn	$G(\omega )\,$ và $G(f)\,$ hoàn toàn là thực, và hàm thậm chí
111	$g(t)\,$ hoàn toàn là thực và một hàm kỳ quặc	$G(\omega )\,$ và $G(f)\,$ hoàn toàn là ảo và hàm lẻ

Các hàm bình phương khả tích

	Signal	Fourier transform unitary, angular frequency	Fourier transform unitary, ordinary frequency	Remarks
	$g(t)\,$	$G(\omega )\!\ {\stackrel {\operatorname {def} }{=}}\ \!$ ${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\!\!g(t)e^{-i\omega t}\operatorname {d} t\,$	$G(f)\!\ {\stackrel {\operatorname {def} }{=}}\$ $\int _{-\infty }^{\infty }\!\!g(t)e^{-i2\pi ft}\operatorname {d} t\,$
201	$\operatorname {rect} (at)\,$	${\frac {1}{\sqrt {2\pi a^{2}}}}\cdot \operatorname {sinc} \left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)$	${\frac {1}{|a|}}\cdot \operatorname {sinc} \left({\frac {f}{a}}\right)$	The rectangular pulse and the normalized sinc function
202	$\operatorname {sinc} (at)\,$	${\frac {1}{\sqrt {2\pi a^{2}}}}\cdot \operatorname {rect} \left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)$	${\frac {1}{|a|}}\cdot \operatorname {rect} \left({\frac {f}{a}}\right)\,$	Dual of rule 201. The rectangular function is an idealized low-pass filter, and the sinc function is the non-causal impulse response of such a filter.
203	$\operatorname {sinc} ^{2}(at)\,$	${\frac {1}{\sqrt {2\pi a^{2}}}}\cdot \operatorname {tri} \left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)$	${\frac {1}{|a|}}\cdot \operatorname {tri} \left({\frac {f}{a}}\right)$	tri is the triangular function
204	$\operatorname {tri} (at)\,$	${\frac {1}{\sqrt {2\pi a^{2}}}}\cdot \operatorname {sinc} ^{2}\left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)$	${\frac {1}{|a|}}\cdot \operatorname {sinc} ^{2}\left({\frac {f}{a}}\right)\,$	Dual of rule 203.
205	$e^{-\alpha t^{2}}\,$	${\frac {1}{\sqrt {2\alpha }}}\cdot e^{-{\frac {\omega ^{2}}{4\alpha }}}$	${\sqrt {\frac {\pi }{\alpha }}}\cdot e^{-{\frac {(\pi f)^{2}}{\alpha }}}$	Shows that the Gaussian function $\exp(-\alpha t^{2})$ is its own Fourier transform. For this to be integrable we must have $\operatorname {Re} (\alpha )>0$.
206	$e^{iat^{2}}=\left.e^{-\alpha t^{2}}\right|_{\alpha =-ia}\,$	${\frac {1}{\sqrt {2a}}}\cdot e^{-i\left({\frac {\omega ^{2}}{4a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}$	${\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\cdot e^{-i\left({\frac {\pi ^{2}f^{2}}{a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}$	common in optics
207	$\cos(at^{2})\,$	${\frac {1}{\sqrt {2a}}}\cos \left({\frac {\omega ^{2}}{4a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)$	${\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\cos \left({\frac {\pi ^{2}f^{2}}{a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)$
208	$\sin(at^{2})\,$	${\frac {-1}{\sqrt {2a}}}\sin \left({\frac {\omega ^{2}}{4a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)$	$-{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\sin \left({\frac {\pi ^{2}f^{2}}{a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)$
209	$\operatorname {e} ^{-a|t|}\,$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cdot {\frac {a}{a^{2}+\omega ^{2}}}$	${\frac {2a}{a^{2}+4\pi ^{2}f^{2}}}$	a>0
210	${\frac {1}{\sqrt {|t|}}}\,$	${\frac {1}{\sqrt {|\omega |}}}$	${\frac {1}{\sqrt {|f|}}}$	the transform is the function itself
211	$J_{0}(t)\,$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cdot {\frac {\operatorname {rect} \left({\frac {\omega }{2}}\right)}{\sqrt {1-\omega ^{2}}}}$	${\frac {2\cdot \operatorname {rect} (\pi f)}{\sqrt {1-4\pi ^{2}f^{2}}}}$	J0(t) is the Bessel function of first kind of order 0
212	$J_{n}(t)\,$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {(-i)^{n}T_{n}(\omega )\operatorname {rect} \left({\frac {\omega }{2}}\right)}{\sqrt {1-\omega ^{2}}}}$	${\frac {2(-i)^{n}T_{n}(2\pi f)\operatorname {rect} (\pi f)}{\sqrt {1-4\pi ^{2}f^{2}}}}$	it's the generalization of the previous transform; Tn (t) is the Chebyshev polynomial of the first kind.
213	${\frac {J_{n}(t)}{t}}\,$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {i}{n}}(-i)^{n}\cdot U_{n-1}(\omega )\,$ $\cdot \ {\sqrt {1-\omega ^{2}}}\operatorname {rect} \left({\frac {\omega }{2}}\right)$	${\frac {2\operatorname {i} }{n}}(-i)^{n}\cdot U_{n-1}(2\pi f)\,$ $\cdot \ {\sqrt {1-4\pi ^{2}f^{2}}}\operatorname {rect} (\pi f)$	Un (t) is the Chebyshev polynomial of the second kind
214	$\operatorname {sech} (at)\,$	${\frac {1}{a}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\operatorname {sech} \left({\frac {\pi }{2a}}\omega \right)$	${\frac {\pi }{a}}\operatorname {sech} \left({\frac {\pi ^{2}}{a}}f\right)$	Hyperbolic secant is its own Fourier transform

Distributions

	Signal	Fourier transform unitary, angular frequency	Fourier transform unitary, ordinary frequency	Remarks
	$g(t)\,$	$G(\omega )\!\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \!$ ${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\!\!g(t)e^{-i\omega t}\,dt$	$G(f)\!\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\$ $\int _{-\infty }^{\infty }\!\!g(t)e^{-i2\pi ft}\,dt$
301	$1\,$	${\sqrt {2\pi }}\cdot \delta (\omega )\,$	$\delta (f)\,$	$\displaystyle \delta (\omega )$ denotes the Dirac delta distribution.
302	$\delta (t)\,$	${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,$	$1\,$	Dual of rule 301.
303	$e^{iat}\,$	${\sqrt {2\pi }}\cdot \delta (\omega -a)\,$	$\delta (f-{\frac {a}{2\pi }})\,$	This follows from and 103 and 302.
304	$\cos(at)\,$	${\sqrt {2\pi }}{\frac {\delta (\omega \!-\!a)\!+\!\delta (\omega \!+\!a)}{2}}\,$	${\frac {\delta (f\!-\!{\begin{matrix}{\frac {a}{2\pi }}\end{matrix}})\!+\!\delta (f\!+\!{\begin{matrix}{\frac {a}{2\pi }}\end{matrix}})}{2}}\,$	Follows from rules 101 and 303 using Euler's formula: $\displaystyle \cos(at)=(e^{iat}+e^{-iat})/2.$
305	$\sin(at)\,$	$i{\sqrt {2\pi }}{\frac {\delta (\omega \!+\!a)\!-\!\delta (\omega \!-\!a)}{2}}\,$	$i{\frac {\delta (f\!+\!{\begin{matrix}{\frac {a}{2\pi }}\end{matrix}})\!-\!\delta (f\!-\!{\begin{matrix}{\frac {a}{2\pi }}\end{matrix}})}{2}}\,$	Also from 101 and 303 using $\displaystyle \sin(at)=(e^{iat}-e^{-iat})/(2i).$
306	$t^{n}\,$	$i^{n}{\sqrt {2\pi }}\delta ^{(n)}(\omega )\,$	$\left({\frac {i}{2\pi }}\right)^{n}\delta ^{(n)}(f)\,$	Here, $\displaystyle n$ is a natural number. $\displaystyle \delta ^{n}(\omega )$ is the $\displaystyle n$-th distribution derivative of the Dirac delta. This rule follows from rules 107 and 302. Combining this rule with 1, we can transform all polynomials.
307	${\frac {1}{t}}\,$	$-i{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\operatorname {sgn}(\omega )\,$	$-i\pi \cdot \operatorname {sgn}(f)\,$	Here $\displaystyle \operatorname {sgn}(\omega )$ is the sign function; note that this is consistent with rules 107 and 302.
308	${\frac {1}{t^{n}}}\,$	$-i{\begin{matrix}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {(-i\omega )^{n-1}}{(n-1)!}}\end{matrix}}\operatorname {sgn}(\omega )\,$	$-i\pi {\begin{matrix}{\frac {(-i2\pi f)^{n-1}}{(n-1)!}}\end{matrix}}\operatorname {sgn}(f)\,$	Generalization of rule 307.
309	$\operatorname {sgn}(t)\,$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cdot {\frac {1}{i\ \omega }}\,$	${\frac {1}{i\pi f}}\,$	The dual of rule 307.
310	$u(t)\,$	${\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\frac {1}{i\pi \omega }}+\delta (\omega )\right)\,$	${\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{i\pi f}}+\delta (f)\right)\,$	Here $u(t)$ is the Heaviside unit step function; this follows from rules 101 and 309.
311	$e^{-at}u(t)\,$	${\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}(a+i\omega )}}$	${\frac {1}{a+i2\pi f}}$	$u(t)$ is the Heaviside unit step function and $a>0$.
312	$\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)\,$	${\begin{matrix}{\frac {\sqrt {2\pi }}{T}}\end{matrix}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(\omega -k{\begin{matrix}{\frac {2\pi }{T}}\end{matrix}}\right)\,$	${\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{\frac {k}{T}}\right)\,$	The Dirac comb — helpful for explaining or understanding the transition from continuous to discrete time.