Nhóm Heisenberg

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Trong toán học, nhóm Heisenberg , được đặt tên theo nhà toán học Werner Heisenberg, là nhóm các ma trận tam giác trên 3 × 3 dưới dạng

dưới phép toán phép nhân ma trận. Các phần tử a, bc có thể được lấy từ bất kỳ vành giao hoán nào có phần tử đơn vị, thường là vành số thực (tạo ra "nhóm Heisenberg liên tục") hoặc vành các số nguyên (tạo ra "nhóm Heisenberg rời rạc").

Nhóm Heisenberg liên tục phát sinh trong việc mô tả các hệ thống cơ lượng tử một chiều, đặc biệt là trong bối cảnh của định lý Stone – von Neumann.

Trường hợp ba chiều[sửa | sửa mã nguồn]

Tích của hai ma trận Heisenberg 3 x 3 được cho bởi:

Dễ thấy rằng bằng việc nhìn vào phần tử ab', nhóm này không phải là nhóm abel.

Phần tử đơn vị của nhóm Heisenberg là ma trận đơn vị còn phần tử nghịch đảo thì được đưa ra bằng

Nhóm Heisenberg là nhóm con của nhóm affine 2 chiều Aff(2): tác động trên tương ứng với biến đổi affin sau:.

Sau đây là một số ví dụ nổi bật trong trường hợp 3 chiều.

Nhóm Heisenberg liên tục[sửa | sửa mã nguồn]

Nếu a, b, c, là các số thực (trong vành R) thì ta gọi nhóm đó là nhóm Heisenberg liên tục H3(R).

Nó là nhóm Lie thực lũy linh với chiều bằng 3.

Nhóm Heisenberg rời rạc[sửa | sửa mã nguồn]

Một phần của đồ thị Cayley của nhóm Heisenberg rời rạc, với các phần tử sinh x, y, z như trong văn bản. (Màu chỉ để hỗ trợ thị giác.)

Nếu a, b, c, là các số nguyên (trong vành Z) thì ta gọi nhóm đó là nhóm Heisenberg rời rạc H3(Z). Nó là nhóm lũy linh không giao hoán. Nó có hai phần tử sinh sau,

và quan hệ

,

Với

là phần tử sinh tâm của H3. (Lưu ý rằng các nghịch đảo của x, yz thay thế 1 ở trên đường chéo chính bằng −1.)

Ta có thể viết bất kỳ phần tử nào bằng cách

Nhóm Heisenberg modulo một số nguyên tố lẻ p[sửa | sửa mã nguồn]

Nếu ta lấy a, b, c trong Z/pZ với p là số nguyên tố lẻ, thì ta gọi nhóm đó là nhóm Heisenberg modulo p. Nó là nhóm có cấp p3 với các phần tử sinh x, y và thỏa mãn quan hệ sau:

Nhóm Heisenberg modulo 2[sửa | sửa mã nguồn]

Nhóm Heisenberg modulo 2 có cấp 8 đẳng cấu với nhóm nhị diện D4 (các đối xứng của một hình vuông). Quan sát rằng nếu

.

Thì

Các phần tử xy tương ứng với phản xạ (với 45° giữa chúng), trong khi xyyx tương ứng với các phép quay 90 °. Các phản xạ khác là xyxyxy, và quay 180° là xyxy(=yxyx).

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]